Двойной касательный пучок - Double tangent bundle

В математика, особенно дифференциальная топология, то пучок двойных касательных или второй касательный пучок относится к касательный пучок (ТТМ,π_ТТМ,TM) общей площади TM из касательный пучок (TM,π_TM,M) из гладкое многообразие M.^[1] Примечание к обозначениям: в этой статье мы обозначаем карты проекций их областями, например, π_ТТМ : ТТМ → TM. Некоторые авторы вместо этого индексируют эти карты по их диапазонам, поэтому для них эта карта будет написана π_TM.

Второй касательный пучок возникает при изучении связи и обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, т. е. (полу) распылительные конструкции на гладких коллекторах, и его не следует путать с струйный пучок второго порядка.

Структура вторичного векторного расслоения и канонический флип

С (TM,π_TM,M) является самостоятельным векторным расслоением, его касательное расслоение имеет структура вторичного векторного расслоения (ТТМ,(π_TM)_*,TM), куда (π_TM)_*:ТТМ→TM продвижение канонической проекции π_TM:TM→M.Далее обозначим

${ displaystyle xi = xi ^ {k} { frac { partial} { partial x ^ {k}}} { Big |} _ {x} in T_ {x} M, qquad X = X ^ {k} { frac { partial} { partial x ^ {k}}} { Big |} _ {x} in T_ {x} M}$

и примените связанную систему координат

${ Displaystyle xi mapsto (x ^ {1}, ldots, x ^ {n}, xi ^ {1}, ldots, xi ^ {n})}$

на TM. Тогда слой структуры вторичного векторного расслоения при Икс∈Т_ИксM принимает форму

${ displaystyle ( pi _ {TM}) _ {*} ^ {- 1} (X) = { Big {} X ^ {k} { frac { partial} { partial x ^ {k }}} { Big |} _ { xi} + Y ^ {k} { frac { partial} { partial xi ^ {k}}} { Big |} _ { xi} { Большой |} xi in T_ {x} M , Y ^ {1}, ldots, Y ^ {n} in mathbb {R} { Big }}.}$

Расслоение по двойному касательному - это двойное векторное расслоение.

В канонический флип^[2] гладкая инволюция j:ТТМ→ТТМ который меняет эти структуры векторного пространства в том смысле, что это изоморфизм векторного расслоения между (ТТМ,π_ТТМ,TM) и (ТТМ,(π_TM)_*,TM). В связанных координатах на TM это читается как

${ Displaystyle J { Big (} X ^ {k} { frac { partial} { partial x ^ {k}}} { Big |} _ { xi} + Y ^ {k} { frac { partial} { partial xi ^ {k}}} { Big |} _ { xi} { Big)} = xi ^ {k} { frac { partial} { partial x ^ { k}}} { Big |} _ {X} + Y ^ {k} { frac { partial} { partial xi ^ {k}}} { Big |} _ {X}.}$

Канонический флип обладает тем свойством, что для любого ж: р² → M,

${ displaystyle { frac { partial f} {{ partial t} { partial s}}} = j circ { frac { partial f} {{ partial s} { partial t}}}}$

куда s и т - координаты стандартного базиса р ². Обратите внимание, что обе частные производные являются функциями от р² к ТТМ.

Фактически, это свойство может быть использовано для внутреннего определения канонического переворота.^[3] Действительно, есть погружениеп: J²₀ (р², М) → ТТМ данный

${ displaystyle p ([f]) = { frac { partial f} {{ partial t} { partial s}}} (0,0)}$

куда п можно определить в пространстве двух струй в нуле, поскольку зависит только от ж до двух по нулю. Рассматриваем заявку:

${ displaystyle J: J_ {0} ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2}, M) to J_ {0} ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2}, M) quad / quad J ([f]) = [f circ alpha]}$

где α (s,т)= (т,s). потом J совместим с проекцией п и индуцирует канонический переворот частного ТТМ.

Канонические тензорные поля на касательном расслоении

Что касается любого векторный набор, касательные пространства Т_ξ(Т_ИксM) волокон Т_ИксM касательного пучка (TM,π_TM,M) можно идентифицировать с волокнами Т_ИксM самих себя. Формально это достигается за счет вертикальный подъемник, который является естественным изоморфизмом векторных пространствvl_ξ:Т_ИксM→V_ξ(Т_ИксM) определяется как

${ displaystyle ( operatorname {vl} _ { xi} X) [f]: = { frac {d} {dt}} { Big |} _ {t = 0} f (x, xi + tX ), qquad f in C ^ { infty} (TM).}$

Вертикальный подъем также можно рассматривать как естественный изоморфизм векторных расслоенийvl: (π_TM)^*TM→VTMиз откатного набора (TM,π_TM,M) над π_TM:TM→M на вертикальный касательный пучок

${ displaystyle VTM: = operatorname {Ker} ( pi _ {TM}) _ {*} subset TTM.}$

Вертикальный подъем позволяет нам определить каноническое векторное поле

${ displaystyle V: TM to TTM; qquad V _ { xi}: = operatorname {vl} _ { xi} xi,}$

гладкой в ​​касательном расслоении щелей TM 0. Каноническое векторное поле можно также определить как инфинитезимальный генератор действия группы Ли

${ displaystyle mathbb {R} times (TM setminus 0) to TM setminus 0; qquad (t, xi) mapsto e ^ {t} xi.}$

В отличие от канонического векторного поля, которое может быть определено для любого векторного расслоения, канонический эндоморфизм

${ displaystyle J: TTM to TTM; qquad J _ { xi} X: = operatorname {vl} _ { xi} ( pi _ {TM}) _ {*} X, qquad X in T_ { xi} TM}$

является специальным по отношению к касательному расслоению. Канонический эндоморфизм J удовлетворяет

${ displaystyle operatorname {Ran} (J) = operatorname {Ker} (J) = VTM, qquad { mathcal {L}} _ {V} J = -J, qquad J [X, Y] = J [JX, Y] + J [X, JY],}$

и он также известен как касательная структура по следующей причине. Если (E,п,M) - любое векторное расслоение с каноническим векторным полем V и (1,1) -тензорное поле J который удовлетворяет перечисленным выше свойствам, с VE на месте VTM, то векторное расслоение (E,п,M) изоморфно касательному расслоению (TM,π_TM,M) базового многообразия и J соответствует касательной структуре TM в этом изоморфизме.

Есть и более сильный результат такого рода ^[4] в котором говорится, что если N это 2п-мерное многообразие и если существует (1,1) -тензорное поле J на N это удовлетворяет

${ displaystyle operatorname {Ran} (J) = operatorname {Ker} (J), qquad J [X, Y] = J [JX, Y] + J [X, JY],}$

тогда N диффеоморфно открытому множеству тотального пространства касательного расслоения некоторых п-мерное многообразие M, и J соответствует касательной структуре TM в этом диффеоморфизме.

В любой связанной системе координат на TM каноническое векторное поле и канонический эндоморфизм имеют координатные представления

${ Displaystyle V = xi ^ {k} { frac { partial} { partial xi ^ {k}}}, qquad J = dx ^ {k} otimes { frac { partial} { частичный xi ^ {k}}}.}$

(Полу) распыляемые структуры

А Структура полуспрея на гладком многообразии M по определению является гладким векторным полем ЧАС на TM 0 такой, что JH=V. Эквивалентное определение: j(ЧАС)=ЧАС, куда j:ТТМ→ТТМ канонический флип. Полураспыление ЧАС это спрей, если дополнительно [V,ЧАС]=ЧАС.

Спрей и полуобрызганные структуры являются инвариантными версиями обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на M. Разница между спреем и полуобрызгиванием заключается в том, что кривые раствора спреев неизменны в положительном перепараметризация^{[жаргон ]} как точки на M, в то время как кривые раствора для полуобрызгивания обычно не так.

Нелинейные ковариантные производные на гладких многообразиях

Канонический флип позволяет определять нелинейные ковариантные производные на гладких многообразиях следующим образом. Позволять

${ Displaystyle Т (ТМ setminus 0) = ЧАС (ТМ setminus 0) oplus V (TM setminus 0)}$

быть Связь Эресманна на касательном пучке щелей TM 0 и рассмотрим отображение

${ Displaystyle D: (TM setminus 0) times Gamma (TM) to TM; quad D_ {X} Y: = ( kappa circ j) (Y _ {*} X),}$

куда Y_*:TM→ТТМ это толчок вперед, j:ТТМ→ТТМ канонический флип и κ:Т(TM/0)→TM/ 0 - это карта коннекторов. Отображение D_Икс является дифференцированием в модуле Γ (TM) гладких векторных полей на M в том смысле, что

• ${ displaystyle D_ {X} ( alpha Y + beta Z) = alpha D_ {X} Y + beta D_ {X} Z, qquad alpha, beta in mathbb {R}}$.
• ${ displaystyle D_ {X} (fY) = X [е] Y + fD_ {X} Y, qquad qquad qquad f in C ^ { infty} (M)}$.

Любое отображение D_Икс с этими свойствами называется (нелинейная) ковариантная производная^[5] на M.Период, термин нелинейный относится к тому факту, что такая ковариантная производная D_Икс on не обязательно линейно по направлению Икс∈TM/ 0 дифференцирования.

Глядя на локальные представления, можно подтвердить, что связи Эресмана на (TM/ 0, π_TM/0,M) и нелинейных ковариантных производных на M находятся во взаимно-однозначном соответствии. Кроме того, если D_Икс линейно по Икс, то связность Эресмана линейна по структура вторичного векторного расслоения, и D_Икс совпадает со своей линейной ковариантной производной.

Смотрите также

• Спрей (математика)
• Структура вторичного векторного расслоения
• Финслеровский коллектор

Рекомендации