Динамическое расслабление - Dynamic relaxation

Динамическое расслабление численный метод, который, помимо прочего, может использоваться для "поиск формы " за кабельно-тканевые конструкции. Цель состоит в том, чтобы найти геометрию, в которой все силы находятся в равновесие. В прошлом это делалось прямым моделированием с использованием подвесных цепей и грузов (см. Гауди ) или с помощью мыльные фильмы, которые имеют свойство корректировки, чтобы найти "минимальная поверхность ".

Метод динамической релаксации основан на дискретизации рассматриваемого континуума путем объединения массы в узлы и определения взаимосвязи между узлами с точки зрения жесткости (см. Также заключительный элемент метод). Система колеблется около положения равновесия под действием нагрузок. За итеративным процессом следует моделирование псевдо-динамичный процесс во времени, с каждой итерацией, основанной на обновлении геометрии,^[1] похожий на Интеграция чехарда и связанные со скоростью Интеграция Верле.

Использование основных уравнений

Учитывая Второй закон движения Ньютона (сила - это масса, умноженная на ускорение) в ${displaystyle x}$ направление на ${displaystyle i}$ ^th узел во время ${displaystyle t}$ :

{displaystyle R_ {ix} (t) = M_ {i} A_ {ix} (t) {frac {} {}}}

Где:

{displaystyle R}

остаточная сила

{displaystyle M}

узловая масса

{displaystyle A}

узловое ускорение

Обратите внимание, что фиктивные узловые массы могут быть выбраны для ускорения процесса поиска формы.

Взаимосвязь между скоростью ${displaystyle V}$ , геометрия ${displaystyle X}$ а невязки можно получить, выполнив двойное численное интегрирование ускорения (здесь в центральная конечная разность форма^[2]), :

{displaystyle V_ {ix} left (t + {frac {Delta t} {2}} ight) = V_ {ix} left (t- {frac {Delta t} {2}} ight) + {frac {Delta t} { M_ {i}}} R_ {ix} (t)}

{displaystyle X_ {i} (t + Delta t) = X_ {i} (t) + Delta times V_ {ix} left (t + {frac {Delta t} {2}} ight)}

Где:

{displaystyle Delta t}

это временной интервал между двумя обновлениями.

По принципу равновесия сил соотношение между невязками и геометрией может быть получено:

{displaystyle R_ {ix} (t ​​+ Delta t) = P_ {ix} (t ​​+ Delta t) + сумма {frac {T_ {m} (t + Delta t)} {l_ {m} (t + Delta t) }} imes (X_ {j} (t + Delta t) -X_ {i} (t + Delta t))}

куда:

{displaystyle P}

компонент приложенной нагрузки

{displaystyle T}

напряжение в ссылке

{displaystyle m}

между узлами

{displaystyle i}

и

{displaystyle j}

{displaystyle l}

длина ссылки.

Сумма должна покрывать силы во всех связях между узлом и другими узлами. Повторяя использование связи между остатками и геометрией, а также связи между геометрией и остатком, моделируется псевдодинамический процесс.

Шаги итерации

1. Установите начальную кинетическую энергию и все компоненты узловой скорости равными нулю:

{displaystyle E_ {k} (t = 0) = 0 {frac {} {}}}

{displaystyle V_ {i} (t = 0) = 0 {frac {} {}}}

2. Вычислите набор геометрии и компонент приложенной нагрузки:

{displaystyle X_ {i} (t = 0) {frac {} {}}}

{displaystyle P_ {i} (t = 0) {frac {} {}}}

3. Вычислите остаток:

{displaystyle T_ {m} (t) {frac {} {}}}

{displaystyle R_ {i} (t) {frac {} {}}}

4. Сбросьте остатки ограниченных узлов до нуля.

5. Обновите скорость и координаты:

{displaystyle V_ {i} (t + {frac {Delta t} {2}}) {frac {} {}}}

{displaystyle X_ {i} (t + Delta t) {гидроразрыв {} {}}}

6. Вернитесь к шагу 3, пока конструкция не станет статичной. равновесие

Демпфирование

Можно сделать динамическую релаксацию более эффективной в вычислительном отношении (уменьшив количество итераций) с помощью демпфирования.^[3]Есть два метода демпфирования:

Вязкое демпфирование, которое предполагает, что соединение между узлами имеет компонент вязкой силы.
Демпфирование кинетической энергии, при котором вычисляются координаты пиковой кинетической энергии (положение равновесия), затем обновляется геометрия до этого положения и сбрасывается скорость до нуля.

Преимущество вязкого демпфирования заключается в том, что он представляет собой кабель с вязкими свойствами. Более того, это легко реализовать, потому что скорость уже вычислена. Демпфирование кинетической энергии - это искусственное демпфирование, которое не является реальным эффектом, но предлагает резкое сокращение количества итераций, необходимых для поиска решения. Однако существуют вычислительные затраты, связанные с тем, что необходимо рассчитать кинетическую энергию и местоположение пика, после чего необходимо обновить геометрию до этого положения.

Смотрите также

дальнейшее чтение

День S, Введение в динамическую релаксацию. Инженер 1965, 219: 218–221.
В. Дж. Льюис, НАПРЯЖЕННЫЕ СТРУКТУРЫ: Форма и поведение, Лондон, Телфорд, 2003
D S WAKEFIELD, Инженерный анализ натяжных конструкций: теория и практика, Ванна, Tensys Limited, 1999 г.
Х.А. БУХХОЛЬДТ, Введение в вантовые кровельные конструкции, 2-е изд, Лондон, Телфорд, 1999