Индекс Дынкина - Dynkin index

В математика, то Индекс Дынкина

${displaystyle x_ {lambda}}$

представительства с наибольшим весом ${displaystyle | lambda |}$ компактного простого Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ что есть самый высокий вес ${displaystyle lambda}$ определяется

${displaystyle {m {tr}} (t_ {a} t_ {b}) = 2x_ {lambda} g_ {ab}}$

оценивается в представлении ${displaystyle | lambda |}$. Вот ${displaystyle t_ {a}}$ - матрицы, представляющие генераторы, и ${displaystyle g_ {ab}}$ дан кем-то

${displaystyle {m {tr}} (t_ {a} t_ {b}) = 2g_ {ab}}$

оценивается в определяющем представлении.

Прослеживая следы, мы обнаруживаем, что

${displaystyle x_ {lambda} = {frac {dim | lambda |} {2dim {mathfrak {g}}}} (лямбда, лямбда + 2ho)}$

где Вектор Вейля

${displaystyle ho = {frac {1} {2}} sum _ {alpha in Delta ^ {+}} alpha}$

равна половине суммы всех положительные корни из ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Выражение ${displaystyle (лямбда, лямбда + 2ho)}$ - значение квадратичного Казимира в представлении ${displaystyle | lambda |}$. Индекс ${displaystyle x_ {lambda}}$ всегда положительное целое число.

В частном случае, когда ${displaystyle lambda}$ это высший корень, означающий, что ${displaystyle | lambda |}$ это присоединенное представительство, ${displaystyle x_ {lambda}}$ равно двойное число Кокстера.

использованная литература

• Филипп Ди Франческо, Пьер Матье, Давид Сенешаль, Конформная теория поля, 1997 Springer-Verlag New York, ISBN  0-387-94785-X