Собственные значения и собственные векторы второй производной - Википедия - Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative

Явные формулы для собственные значения и собственные векторы вторая производная с разными граничными условиями предусмотрены как для непрерывного, так и для дискретного случая. В дискретном случае стандартная центрально-разностная аппроксимация второй производной используется на равномерной сетке.

Эти формулы используются для вывода выражений для собственные функции из Лапласиан в случае разделение переменных, а также найти собственные значения и собственные векторы многомерных дискретный лапласиан на регулярная сетка, который представлен как Сумма Кронекера дискретных лапласианов в одномерном.

Непрерывный случай

Индекс j представляет j-е собственное значение или собственный вектор и изменяется от 1 до ${ displaystyle infty}$. Предполагая, что уравнение определено в области ${ Displaystyle х в [0, L]}$, ниже приведены собственные значения и нормированные собственные векторы. Собственные значения упорядочены по убыванию.

Чистые граничные условия Дирихле

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {j ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {j} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {j pi x} {L}} right)}$

Чистые граничные условия Неймана

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {(j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {j} (x) = left {{ begin {array} {lr} L ^ {- { frac {1} {2}}} & j = 1 { sqrt { frac {2} {L}}} cos left ({ frac {(j-1) pi x} {L}} right) & { mbox {else}} end {array}} right. }$

Периодические граничные условия

${ displaystyle lambda _ {j} = left {{ begin {array} {lr} - { frac {j ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}} & { mbox {j четно.}} - { frac {(j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}} & { mbox {j нечетно.} } end {array}} right.}$

(То есть: ${ displaystyle 0}$ является простым собственным значением, а все дальнейшие собственные значения даются ${ displaystyle { frac {j ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}}}$, ${ Displaystyle J = 1,2, ldots}$, каждая с кратностью 2).

${ displaystyle v_ {j} (x) = { begin {cases} L ^ {- { frac {1} {2}}} & { mbox {if}} j = 1. { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {j pi x} {L}} right) & { mbox {, если j четное.}} { sqrt { frac {2} {L}}} cos left ({ frac {(j-1) pi x} {L}} right) & { mbox {если j нечетное.}} end {cases }}}$

Смешанные граничные условия Дирихле-Неймана.

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {(2j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {4L ^ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {j} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {(2j-1) pi x} {2L}} right) }$

Смешанные граничные условия Неймана-Дирихле.

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {(2j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {4L ^ {2}}}}$

${ displaystyle v_ {j} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} cos left ({ frac {(2j-1) pi x} {2L}} right) }$

Дискретный случай

Обозначение: индекс j представляет j-е собственное значение или собственный вектор. Индекс i представляет i-й компонент собственного вектора. Оба i и j идут от 1 до n, где размер матрицы n x n. Собственные векторы нормированы. Собственные значения упорядочены по убыванию.

Чистые граничные условия Дирихле

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi j} {2 (n + 1)} }верно)}$

${ displaystyle v_ {я, j} = { sqrt { frac {2} {n + 1}}} sin left ({ frac {ij pi} {n + 1}} right)}$ ^[1]

Чистые граничные условия Неймана

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j-1)} {2n}} верно)}$

${ displaystyle v_ {i, j} = { begin {case} n ^ {- { frac {1} {2}}} & { mbox {j = 1}} { sqrt { frac { 2} {n}}} cos left ({ frac { pi (j-1) (i-0.5)} {n}} right) & { mbox {else}} end {cases}} }$

Периодические граничные условия

${ displaystyle lambda _ {j} = { begin {cases} - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j-1 )} {2n}} right) & { mbox {если j нечетное.}} - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi j} {2n}} right) & { mbox {если j четное.}} end {ases}}}$

(Обратите внимание, что собственные значения повторяются за исключением 0 и самого большого, если n четно.)

${ displaystyle v_ {i, j} = { begin {cases} n ^ {- { frac {1} {2}}} & { mbox {if}} j = 1. n ^ {- { frac {1} {2}}} (- 1) ^ {i} & { mbox {if}} j = n { mbox {и n четно.}} { sqrt { frac {2 } {n}}} sin left ({ frac { pi (i-0.5) j} {n}} right) & { mbox {в противном случае, если j четное.}} { sqrt { frac {2} {n}}} cos left ({ frac { pi (i-0.5) (j-1)} {n}} right) & { mbox {в противном случае, если j нечетное. }} end {case}}}$

Смешанные граничные условия Дирихле-Неймана.

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j - { frac {1}) 2}})} {2n + 1}} right)}$

${ Displaystyle v_ {я, j} = { sqrt { frac {2} {n + 0,5}}} sin left ({ frac { pi i (2j-1)} {2n + 1}} верно)}$

Смешанные граничные условия Неймана-Дирихле.

${ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j - { frac {1}) 2}})} {2n + 1}} right)}$

${ Displaystyle v_ {я, j} = { sqrt { frac {2} {n + 0,5}}} cos left ({ frac { pi (i-0,5) (2j-1)} {2n +1}} right)}$

Вывод собственных значений и собственных векторов в дискретном случае.

Чехол Дирихле

В одномерном дискретном случае с граничными условиями Дирихле мы решаем

${ displaystyle { frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} = lambda v_ {k}, k = 1, ... , n, v_ {0} = v_ {n + 1} = 0.}$

Переставляя сроки, получаем

${ displaystyle v_ {k + 1} = (2 + h ^ {2} lambda) v_ {k} -v_ {k-1}. !}$

Теперь позвольте ${ Displaystyle 2 альфа = (2 + час ^ {2} лямбда)}$. Кроме того, предполагая ${ displaystyle v_ {1} neq 0}$, мы можем масштабировать собственные векторы любым ненулевым скаляром, поэтому масштаб ${ displaystyle v}$ так что ${ displaystyle v_ {1} = 1}$.

Затем находим повторение

${ displaystyle v_ {0} = 0 , !}$

${ Displaystyle v_ {1} = 1. , !}$

${ Displaystyle v_ {к + 1} = 2 альфа v_ {k} -v_ {k-1} , !}$

Учитывая ${ displaystyle alpha}$ как неопределенное,

${ Displaystyle v_ {к + 1} = U_ {к} ( альфа) , !}$

куда ${ displaystyle U_ {k}}$ k-й Полином Чебышева 2-го рода.

С ${ displaystyle v_ {n + 1} = 0}$мы получаем это

${ Displaystyle U_ {п} ( альфа) = 0 , !}$.

Понятно, что собственными значениями нашей задачи будут нули n-го многочлена Чебышева второго рода с соотношением ${ Displaystyle 2 альфа = (2 + час ^ {2} лямбда)}$.

Эти нули хорошо известны:

${ displaystyle alpha _ {k} = cos left ({ frac {k pi} {n + 1}} right). , !}$

Подставляя их в формулу для ${ displaystyle lambda}$,

${ displaystyle 2 cos left ({ frac {k pi} {n + 1}} right) = h ^ {2} lambda _ {k} +2 , !}$

${ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {2} {h ^ {2}}} left [1- cos left ({ frac {k pi} {n + 1}} верно-верно].,!}$

Используя тригонометрическую формулу для упрощения, мы находим

${ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac {k pi} {2 (n + 1)}) }верно).,!}$

Дело Неймана

В случае Неймана мы решаем

${ displaystyle { frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} = lambda v_ {k}, k = 1, ... , n, v '_ {0,5} = v' _ {n + 0,5} = 0. , !}$

В стандартной дискретизации введем ${ displaystyle v_ {0} , !}$ и ${ Displaystyle v_ {п + 1} , !}$ и определить

${ displaystyle v '_ {0.5}: = { frac {v_ {1} -v_ {0}} {h}}, v' _ {n + 0.5}: = { frac {v_ {n + 1) } -v_ {n}} {h}} , !}$

Тогда граничные условия эквивалентны

${ displaystyle v_ {1} -v_ {0} = 0, v_ {n + 1} -v_ {n} = 0.}$

Если мы сделаем замену переменных,

${ displaystyle w_ {k} = v_ {k + 1} -v_ {k}, k = 0, ..., n , !}$

мы можем вывести следующее:

${ displaystyle { begin {alignat} {2} { frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} & = lambda v_ {k } v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1} & = h ^ {2} lambda v_ {k} (v_ {k + 1} -v_ {k}) - (v_ {k} -v_ {k-1}) & = h ^ {2} lambda v_ {k} w_ {k} -w_ {k-1} & = h ^ {2} lambda v_ { k} & = h ^ {2} lambda w_ {k-1} + h ^ {2} lambda v_ {k-1} & = h ^ {2} lambda w_ {k-1} + w_ {k-1} -w_ {k-2} w_ {k} & = (2 + h ^ {2} lambda) w_ {k-1} -w_ {k-2} w_ { k + 1} & = (2 + h ^ {2} lambda) w_ {k} -w_ {k-1} & = 2 alpha w_ {k} -w_ {k-1}. end { выровнен}}}$

с ${ displaystyle w_ {n} = w_ {0} = 0}$ являющиеся граничными условиями.

Это в точности формула Дирихле с ${ displaystyle n-1}$ внутренние точки сетки и шаг сетки ${ displaystyle h}$. Подобно тому, что мы видели выше, при условии, что ${ displaystyle w_ {1} neq 0}$, мы получили

${ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac {k pi} {2n}} right), k = 1, ..., n-1.}$

Это дает нам ${ displaystyle n-1}$ собственные значения и есть ${ displaystyle n}$. Если отказаться от предположения, что ${ displaystyle w_ {1} neq 0}$, мы находим также решение с ${ Displaystyle v_ {к} = mathrm {константа} forall k = 0, ..., n + 1,}$ и это соответствует собственному значению ${ displaystyle 0}$.

Переназначив индексы в приведенной выше формуле и комбинируя с нулевым собственным значением, получаем

${ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac {(k-1) pi} {2n}} right), k = 1, ..., n.}$

Дело Дирихле-Неймана

Для случая Дирихле-Неймана решаем

${ displaystyle { frac {v_ {k + 1} -2v_ {k} + v_ {k-1}} {h ^ {2}}} = lambda v_ {k}, k = 1, ... , n, v_ {0} = v '_ {n + 0,5} = 0.}$,

куда ${ displaystyle v '_ {n + 0.5}: = { frac {v_ {n + 1} -v_ {n}} {h}}.}$

Нам нужно ввести вспомогательные переменные ${ displaystyle v_ {j + 0.5}, j = 0, ..., n.}$

Рассмотрим повторение

${ displaystyle v_ {k + 0.5} = 2 beta v_ {k} -v_ {k-0.5}, { text {для некоторых}} beta , !}$.

Также мы знаем ${ displaystyle v_ {0} = 0}$ и предполагая ${ displaystyle v_ {0,5} neq 0}$, мы можем масштабировать ${ displaystyle v_ {0.5}}$ так что ${ displaystyle v_ {0.5} = 1.}$

Мы также можем написать

${ displaystyle v_ {k} = 2 beta v_ {k-0.5} -v_ {k-1} , !}$

${ displaystyle v_ {k + 1} = 2 beta v_ {k + 0,5} -v_ {k}. , !}$

Выбрав правильную комбинацию этих трех уравнений, мы можем получить

${ displaystyle v_ {k + 1} = (4 beta ^ {2} -2) v_ {k} -v_ {k-1}. , !}$

Таким образом, наша новая рекурсия решит нашу проблему собственных значений, когда

${ displaystyle h ^ {2} lambda + 2 = (4 beta ^ {2} -2). , !}$

Решение для ${ displaystyle lambda}$ мы получили

${ displaystyle lambda = { frac {4 ( beta ^ {2} -1)} {h ^ {2}}}.}$

Наше новое повторение дает

${ Displaystyle v_ {n + 1} = U_ {2n + 1} ( beta), v_ {n} = U_ {2n-1} ( beta), , !}$

куда ${ Displaystyle U_ {к} ( бета)}$ снова k-й Полином Чебышева 2-го рода.

И в сочетании с нашим граничным условием Неймана, мы имеем

${ displaystyle U_ {2n + 1} ( beta) -U_ {2n-1} ( beta) = 0. , !}$

Известная формула связывает Полиномы Чебышева первого рода, ${ displaystyle T_ {k} ( beta)}$, второму типу

${ Displaystyle U_ {k} ( beta) -U_ {k-2} ( beta) = T_ {k} ( beta). , !}$

Таким образом, наши собственные значения решают

${ displaystyle T_ {2n + 1} ( beta) = 0, lambda = { frac {4 ( beta ^ {2} -1)} {h ^ {2}}}. , !}$

Известно также, что нули этого многочлена равны

${ Displaystyle бета _ {к} = соз влево ({ гидроразрыва { пи (к-0,5)} {2n + 1}} вправо), к = 1, ..., 2n + 1 , !}$

И поэтому

${ displaystyle { begin {alignat} {2} lambda _ {k} & = { frac {4} {h ^ {2}}} left [ cos ^ {2} left ({ frac { pi (k-0.5)} {2n + 1}} right) -1 right] & = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ( { frac { pi (k-0.5)} {2n + 1}} right). end {alignat}}}$

Обратите внимание, что таких значений 2n + 1, но уникальны только первые n + 1. (N + 1) -ое значение дает нам нулевой вектор как собственный вектор с собственным значением 0, что тривиально. Это можно увидеть, вернувшись к исходному повторению. Поэтому мы рассматриваем только первые n из этих значений как n собственных значений задачи Дирихле - Неймана.

${ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (k-0.5)} {2n + 1) }} right), k = 1, ..., n.}$

Рекомендации