Эластичность межвременного замещения - Elasticity of intertemporal substitution

Эластичность межвременного замещения (или же межвременная эластичность замещения) является мерой отзывчивости скорость роста из потребление к реальная процентная ставка.^[1] Если реальная ставка повышается, текущее потребление может снизиться из-за увеличения отдачи от сбережений; но текущее потребление может также увеличиться, поскольку домохозяйство немедленно решит потреблять больше, поскольку оно чувствует себя богаче. Чистым влиянием на текущее потребление является эластичность межвременного замещения.^[2]

Математическое определение

Определение зависит от того, работаете ли человек в дискретном или непрерывном времени. Мы увидим это для CRRA полезность, оба подхода дают один и тот же ответ. Приведенные ниже функциональные формы предполагают, что полезность и потребление аддитивно отделимы во времени.

Дискретное время

Полезность за весь срок службы определяется выражением

${displaystyle U = sum _ {t = 0} ^ {T} eta ^ {t} u (c_ {t})}$

В этом случае реальная процентная ставка будет задана следующим условием:

${displaystyle Qu '(c_ {t}) = Q eta Ru' (c_ {t + 1})}$

Количество денег ${displaystyle Q}$ инвестировал сегодня стоит ${displaystyle Qu '(c_ {t})}$ единиц полезности, и поэтому должно давать именно такое количество единиц полезности в будущем при сохранении по преобладающей валовой процентной ставке ${displaystyle R}$. (Если бы он приносил больше, тогда агент мог бы лучше сэкономить.)

Решая реальную процентную ставку, мы видим, что

${displaystyle R = {frac {u '(c_ {t})} {eta u' (c_ {t + 1})}}}$

В журналах у нас есть

${displaystyle r = -ln {left [{frac {u '(c_ {t + 1})} {u' (c_ {t})}} ight]} - ln {eta}}$

Журналы очень близки к процентным изменениям, поэтому мы можем интерпретировать ${displaystyle r}$ как чистая процентная ставка, например 5%, тогда как ${displaystyle R}$ - соответствующая валовая процентная ставка, например 1,05.

Эластичность межвременного замещения определяется как процентное изменение роста потребления на процентное увеличение чистой процентной ставки:

${displaystyle {frac {dln (c_ {t + 1} / c_ {t})} {dr}}}$

Подставляя логарифмическое уравнение выше, мы видим, что это определение эквивалентно эластичности роста потребления по отношению к росту предельной полезности:

${displaystyle - {frac {dln (c_ {t + 1} / c_ {t})} {dln (u '(c_ {t + 1}) / u' (c_ {t}))}}}$

Однако оба определения верны, если предположить, что агент оптимизирует и имеет полезность, разделимую по времени.

Пример

Пусть полезность потребления в периоде ${displaystyle t}$ быть предоставленным

${displaystyle u (c_ {t}) = {frac {c_ {t} ^ {1-sigma}} {1-sigma}}.}$

Поскольку эта функция полезности принадлежит семейству CRRA полезные функции у нас есть ${displaystyle u '(c_ {t}) = c_ {t} ^ {- sigma}.}$ Таким образом,

${displaystyle ln left [{frac {u '(c_ {t + 1})} {u' (c_ {t})}} ight] = - sigma ln left [{frac {c_ {t + 1}}} {c_ {в обтяжку].}$

Это можно переписать как

${displaystyle ln left [{frac {c_ {t + 1}} {c_ {t}}} ight] = - {frac {1} {sigma}} ln left [{frac {u '(c_ {t + 1} )} {u '(c_ {t})}} ight]}$

Следовательно, применяя полученную выше формулу

${displaystyle - {frac {partial ln (c_ {t + 1} / c_ {t})} {partial ln (u '(c_ {t + 1}) / u' (c_ {t}))}} = - left [- {frac {1} {sigma}} ight] = {frac {1} {sigma}}.}$

Непрерывное время

Пусть общая полезность за время жизни определяется выражением

${displaystyle U = int _ {0} ^ {T} e ^ {- ho t} u (c_ {t}) dt}$

куда ${displaystyle c_ {t}}$ сокращение для ${displaystyle c (t)}$, ${displaystyle u (c (t))}$ полезность потребления в (мгновенное) время t, и ${displaystyle ho}$ - ставка дисконтирования по времени. Сначала определите меру относительное неприятие риска (это полезно, даже если модель не имеет неопределенности или риска), поскольку,

${displaystyle RRA = - {frac {d (u '(c_ {t}))} {d (c_ {t})}} {frac {c_ {t}} {u' (c_ {t})}} = -u '' (c_ {t}) {frac {c_ {t}} {u '(c_ {t})}}}$

тогда эластичность межвременного замещения определяется как

${displaystyle EIS = - {frac {partial ({dot {c}} _ {t} / c_ {t})} {partial ({dot {u}} '(c_ {t}) / u' (c_ {t }))}} = - {frac {partial ({dot {c}} _ {t} / c_ {t})} {partial (u '' (c_ {t}) {dot {c}} _ {t } / u '(c_ {t}))}} = {frac {partial ({dot {c}} _ {t} / c_ {t})} {partial (RRAcdot ({dot {c}} _ {t } / c_ {t}))}} = {frac {1} {RRA}} = - {frac {u '(c_ {t})} {u' '(c_ {t}) cdot c_ {t}} }}$

Если функция полезности ${displaystyle u (c)}$ из CRRA тип:

${displaystyle u (c) = {гидроразрыв {c ^ {1- heta} -1} {1- heta}}}$ (с особым случаем ${displaystyle heta = 1}$ существование ${displaystyle u (c) = ln (c)}$)

тогда межвременная эластичность замещения определяется выражением ${displaystyle {frac {1} {heta}}}$. В целом, низкое значение тета (высокая межвременная эластичность) означает, что рост потребления очень чувствителен к изменениям реальной процентной ставки. Для тета, равного 1, темп роста потребления один к одному реагирует на изменение реальной процентной ставки. Высокий тета означает нечувствительный рост потребления.

Модель роста Рэмси

в Модель роста Рамсея, эластичность межвременного замещения определяет скорость адаптации к устойчивое состояние и поведение нормы сбережений во время перехода. Если эластичность высока, то большие изменения в потреблении не очень дорого обходятся потребителям, и в результате, если реальная процентная ставка высока, они сэкономят большую часть своего дохода. Если эластичность низкая, сглаживание расхода мотив очень силен, и поэтому потребители будут немного экономить и потреблять много, если реальная процентная ставка высока.

Оценки

Эмпирические оценки эластичности различаются. Отчасти сложность связана с тем, что микроэкономический исследования приходят к другим выводам, чем макроэкономический исследования, использующие агрегированные данные. Мета-анализ 169 опубликованных исследований показывает, что средняя эластичность составляет 0,5, но также имеются существенные различия между странами.^[3]

Рекомендации