Элементарное доказательство - Elementary proof

В математика, элементарное доказательство это математическое доказательство который использует только базовые техники. Более конкретно, этот термин используется в теория чисел ссылаться на доказательства, которые не используют комплексный анализ.^[1] Исторически сложилось так, что когда-то считалось, что некоторые теоремы, такие как теорема о простых числах, может быть доказано только с помощью «высших» математических теорем или методов. Однако с течением времени многие из этих результатов также были впоследствии подтверждены с использованием только элементарных методов.

Хотя обычно нет единого мнения относительно того, что считать элементарным, этот термин, тем не менее, является общей частью математический жаргон. Элементарное доказательство не обязательно является простым в том смысле, что оно легко для понимания или тривиально. На самом деле, некоторые элементарные доказательства могут быть довольно сложными - и это особенно верно, когда речь идет о весьма важном утверждении.^[1][2]

Теорема о простых числах

Различие между элементарными и неэлементарными доказательствами считалось особенно важным в отношении теорема о простых числах. Эта теорема была впервые доказана в 1896 г. Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссен с помощью комплексного анализа.^[3] Многие математики безуспешно пытались построить элементарные доказательства теоремы. Г. Х. Харди выразил серьезные оговорки; он считал, что главное "глубина "результата исключены элементарные доказательства:

Элементарного доказательства теоремы о простых числах не известно, и можно спросить, разумно ли его ожидать. Теперь мы знаем, что эта теорема примерно эквивалентна теореме об аналитической функции, теореме о том, что дзета-функция Римана не имеет корней на определенной прямой. Доказательство такой теоремы, фундаментально не зависящее от теории функций, кажется мне чрезвычайно маловероятным. Было бы опрометчиво утверждать, что математическая теорема не можешь быть доказанным определенным образом; но одно кажется совершенно ясным. У нас есть определенные взгляды на логику теории; мы думаем, что одни теоремы, как мы говорим, «лежат глубоко», а другие - ближе к поверхности. Если кто-нибудь представит элементарное доказательство теоремы о простых числах, он покажет, что эти взгляды ошибочны, что предмет не совпадает, как мы предполагали, и что пора отбросить книги и заняться теория должна быть переписана.

— Г. Х. Харди (1921). Лекция для Математического общества Копенгагена. Цитируется по Goldfeld (2003), p. 3^[4]

Однако в 1948 г. Атле Сельберг разработал новые методы, которые привели его и Пол Эрдёш найти элементарные доказательства теоремы о простых числах.^[4]

Возможной формализацией понятия «элементарный» в связи с доказательством теоретико-числового результата является ограничение на то, что доказательство может быть проведено в Арифметика Пеано.^{[нужна цитата ]} Также в этом смысле эти доказательства элементарны.^{[нужна цитата ]}

Гипотеза Фридмана

Харви Фридман предположил: "Каждая теорема, опубликованная в Анналы математики утверждение которого включает только конечные математические объекты (то есть то, что логики называют арифметическим утверждением), может быть доказано элементарной арифметикой ".^[5] Форма элементарной арифметики, о которой идет речь в этой гипотезе, может быть формализована небольшим набором аксиом, касающихся целочисленной арифметики и математической индукции. Например, согласно этой гипотезе, Последняя теорема Ферма должно иметь элементарное доказательство; Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма не элементарно. Однако есть и другие простые утверждения об арифметике, такие как существование повторяющаяся экспонента функции, которые не могут быть доказаны в этой теории.

Рекомендации