Космос Эсакия - Esakia space

В математика, Пространства Эсакии особенные упорядоченный топологические пространства введен и изучен Лео Эсакия в 1974 г.[1] Пространства Эсакии играют фундаментальную роль в изучении Гейтинговые алгебры, прежде всего в силу Двойственность Эсакии - двойная эквивалентность между категория алгебр Гейтинга и категории пространств Эсакии.

Определение

Для частично заказанный набор (Икс,≤) и для Икс∈ Икс, позволять ↓Икс = {у∈ Икс : у≤ Икс} и разреши ↑Икс = {у∈ Икс : Икс≤ у} . Также для А⊆ Икс, позволять ↓А = {у∈ Икс : у ≤ Икс для некоторых Икс∈ А} и ↑А = {у∈ Икс : у≥ Икс для некоторых Икс∈ А} .

An Космос Эсакия это Пространство Пристли (Икс,τ,≤) так что для каждого прищемить подмножество C топологического пространства (Икс,τ), набор ↓C тоже непонятный.

Эквивалентные определения

Есть несколько эквивалентных способов определения пространств Эсакии.

Теорема:[2] При условии (Икс,τ) это Каменное пространство, следующие условия эквивалентны:

(я) (Икс,τ,≤) это пространство Эсакии.
(ii) ↑Икс является закрыто для каждого Икс∈ Икс и ↓C за каждый глоток C⊆ Икс.
(iii) ↓Икс закрывается для каждого Икс∈ Икс и ↑ cl (А) = cl (↑А) для каждого А⊆ Икс (куда cl обозначает закрытие в Икс).
(iv) ↓Икс закрывается для каждого Икс∈ Икс, наименее замкнутое множество, содержащее расстроен является набором, а наименьший набор, содержащий замкнутый набор, является закрытым.

Морфизмы Эсакии

Позволять (Икс,≤) и (Y,≤) - частично упорядоченные множества, и пусть f: Икс → Y быть сохраняющий порядок карта. Карта ж это ограниченный морфизм (также известен как р-морфизм ) если для каждого Икс∈ Икс и у∈ Y, если f (Икс)≤ у, то существует z∈ Икс такой, что Икс≤ z и f (z) = у.

Теорема:[3] Следующие условия эквивалентны:

(1) ж является ограниченным морфизмом.
(2) f (↑Икс) = ↑ f (Икс) для каждого Икс∈ Икс.
(3) ж−1(↓у) = ↓ f−1(у) для каждого у∈ Y.

Позволять (Икс, τ, ≤) и (Y, τ′, ≤) - пространства Эсакии и пусть f: Икс → Y быть картой. Карта ж называется Морфизм Эсакии если ж это непрерывный ограниченный морфизм.

Примечания

  1. ^ Эсакия (1974)
  2. ^ Эсакия (1974), Эсакия (1985).
  3. ^ Эсакия (1974), Эсакия (1985).

Рекомендации

  • Эсакия, Л. (1974). Топологические модели Крипке. Советская математика. Докл., 15 147–151.
  • Эсакия, Л. (1985). Алгебры Гейтинга I. Теория двойственности (рус.). Мецниереба, Тбилиси.