Теория граней - Википедия - Facet Theory

Эта статья может потребоваться переписан соответствовать требованиям Википедии стандарты качества, поскольку детализация чрезмерна, язык слишком технический, а тон не энциклопедический. Ты можешь помочь. В страница обсуждения может содержать предложения. (Декабрь 2020 г.)

Теория граней это метатеория для многомерного поведенческие науки это утверждает, что воспроизводимый исследования и значимые измерения может быть продвинута путем обнаружения взаимосвязей между классификациями наблюдений и разделами подходящих пространств представления данных. Эти пространства могут отображать меры сходства (например, корреляции) или частично упорядоченные наборы, полученный из данных.

Facet Theory была инициирована Луи Гутман^[1] и получил дальнейшее развитие и применялся в различных дисциплинах поведенческие науки включая психология, социология, и управление бизнесом.

Переменные как статистические единицы. Теория фасетов признает, что в поведенческих исследованиях наблюдаемые переменные обычно образуют лишь выборку из бесконечного или очень большого числа переменных, составляющих исследуемый атрибут (вселенную контента). Следовательно, Facet Theory предлагает методы выборки переменных для наблюдения из всей совокупности контента; и для выполнения выводов из выборки наблюдаемых переменных для всей совокупности контента следующим образом:

(а) Переменные выборки из вселенной контента. Это делается с помощью предложения сопоставления, по сути функции, домен которой состоит из респондентов и стимулов в качестве аргументов, а образ состоит из декартово произведение диапазонов ответов на стимулы, где каждый диапазон ответов аналогичным образом упорядочен от высокого к низкому в соответствии с концепцией, общей для всех стимулов. Когда стимулы классифицируются априори по одному или нескольким критериям содержания, предложение отображения упрощает стратифицированную выборку вселенной содержания. См. Раздел 1 ниже.

Классификация стимулов по их содержанию называется аспект содержания; а заранее заданный набор ответов на стимул (классификация респондентов по их реакции на этот стимул) называется аспект диапазона.

(б) Делать выводы от выборки наблюдаемых переменных до всего контента. Такие выводы требуют указания типа результатов исследования, в отношении которых должны быть сделаны выводы. Теория граней утверждает, что научно стабильные (воспроизводимый ) результаты будут являться результатом региональных гипотез; гипотезы о соответствии между фасетами определения (содержания или диапазона), с одной стороны, и эмпирическим разбиением на области определенных геометрических пространств, с другой стороны. Таким образом, региональная гипотеза определяет взаимно однозначное соответствие между фасетными элементами (классами) и непересекающимися областями в пространстве.

Из множества предложенных типов пространств,^[2] два особенно плодотворны:

• Faceted-SSA (граненый анализ наименьшего пространства).^[3][4] В геометрическом пространстве, создаваемом этой процедурой, переменные отображаются как точки при условии: если р_ij > р_kl тогда d_ij ≤ d_kl, куда р_ij мера сходства между переменными я и j (часто коэффициенты корреляции между переменными); и d_ij расстояние между их точками в пространстве. Исследуемая вселенная, определяемая как совокупность ее переменных, представлена ​​связным подмножеством геометрического пространства, часто называемым картой SSA. Для каждого аспекта содержимого затем ищется соответствие 1-1 между его элементами и областью на карте SSA. А региональная гипотеза предполагает, что может быть найдено простое разделение пространства, так что каждая из его областей будет включать переменные только одного из классов, указанных в фасете содержимого. Фасетный SSA является основой для структурирования исследуемого атрибута. См. Раздел 2 ниже.
• POSAC (анализ скалограмм частичного порядка по базовым координатам).^[5] Эта процедура основана на анализе респондентов относительно существующей между ними отношения частичного порядка. Таким образом, предполагается, что каждая пара респондентов, п_я, п_j, либо сопоставимо (обозначено п_яSп_j), причем один из них больше или равен другому (п_я ≥ p_j) по наблюдаемому атрибуту; или они несравнимы (обозначены п_я$п_j ) по отношению к этому атрибуту. POSAC стремится представлять респондентов п_я как точки Икс₁(п_я) … Икс_м(п_я) в самых маленьких м-координатное пространство, Икс, координаты которого сохраняют наблюдаемые отношения частичного порядка (сравнимость и несравнимость). То есть, п_я$п_j если существуют две координаты Икс_s, Икс_т для которого имеет место следующее: Икс_s(п_я)>Икс_s(п_j) но Икс_т(п_я)<Икс_т(п_j). Затем для каждого фасета диапазона ищется соответствие 1-1 между его элементами (оценками) и разделением пространства POSAC на допустимые области, которые разделены невозрастающими гиперплоскостями; например, невозрастающие линии в двумерном случае. POSAC является основой для измерений множественного масштабирования исследуемого атрибута. См. Раздел 3 ниже.

Эта статья продолжается Разделом 1, описывающим устройство предложения отображения для формального определения системы наблюдений, для предоставления терминов, в которых могут быть сформулированы гипотезы, и для облегчения стратифицированной выборки переменных. В разделе 2 излагаются основы теории фасетов применительно к использованию пространств представления подобия (фасетный анализ наименьшего пространства, фасетный SSA) и проиллюстрированы их примером из интеллектуальных исследований. В разделе 3 излагаются основы теории фасетов применительно к ее использованию представления в координатном пространстве частично упорядоченных множеств (множественное масштабирование с помощью анализа скалограмм частичного порядка с координатами, POSAC) и иллюстрируются их теоретическими измерениями отношения распределительной справедливости. Раздел 4 завершается некоторыми комментариями к теории аспектов, включая ее сравнение с Факторный анализ.

Предложение отображения

Предложение сопоставления - это семантическое устройство для определения и передачи системы наблюдений, которые должны быть выполнены в конкретном исследовании. Таким образом, предложение о сопоставлении также предоставляет основные концепции, в терминах которых могут быть сформулированы исследовательские гипотезы.

Пример из интеллект исследование

Предположим, что члены п_я популяции P наблюдаются в отношении их успеха в письменном вербальном тесте на интеллект. Такие наблюдения можно описать как отображение наблюдаемой популяции на набор возможных оценок, скажем, р = {1,…,10}: п _q1→ R, куда q1 в том смысле, в котором конкретная оценка присваивается каждому человеку в наблюдаемой популяции п, т.е. q1 в данном примере - «вербальный интеллект». Теперь кто-то может быть заинтересован в наблюдении также математического или, более конкретно, численного интеллекта исследуемой популяции; а также, возможно, их пространственный интеллект. Каждый из этих видов интеллекта - это «чувство», в котором члены населения п_я может быть отображен в диапазоне баллов р = {1,…, 10}. Таким образом, «интеллект» теперь разделяется на три типа материалов: вербальный (q₁), числовой (q2) и пространственный (q3). Вместе, п, население и Q = {q₁, q₂, q₃}, набор типов интеллекта, образуют декартово произведение, составляющее область отображения. Отображение осуществляется от набора пар (pi, qj) к общему диапазону результатов тестов. р = {1,…,10}: п × Q → р.

А грань - это набор, который служит набором компонентов декартова произведения. Таким образом, п называется аспект населения, Q называется аспект содержания, и набор баллов для каждого теста аспект диапазона. Аспекты диапазона различных элементов (переменных) не обязательно должны быть одинаковыми по размеру: они могут иметь любое конечное количество баллов или категорий, большее или равное 2.

Общий диапазон значений (CMR)

Диапазоны элементов, относящихся к исследуемой контентной вселенной - интеллект в этом примере - все должны иметь общий диапазон значений (CMR); то есть они должны быть расположены в порядке убывания по общему значению. Следуя Гутману, общее значение, предлагаемое для диапазонов элементов интеллекта, - это «правильность по отношению к объективному правилу».

Концепция CMR занимает центральное место в теории аспектов: она служит для определения изучаемой вселенной контента путем определения совокупности элементов, относящихся к этой вселенной контента. Таким образом отображение-определение интеллекта, разработанного Facet Theory:

«Элемент принадлежит к вселенной интеллектуальных элементов тогда и только тогда, когда его область применения требует выполнения когнитивной задачи, касающейся объективного правила, а его диапазон упорядочен от высокой правильности до низкой правильности по отношению к этому правилу».

Сопоставление предложения 1. Основы наблюдения за разведданными

Первоначальной основой для наблюдения за интеллектом может быть предложение 1 на карте.

Предложение сопоставления служит единым семантическим устройством для определения системы тестовых заданий интеллекта в соответствии с настоящей концептуализацией. Его контентный аспект, материальный аспект, теперь может служить классификацией заданий для проверки интеллекта, которые следует учитывать. Таким образом, при планировании наблюдений обеспечивается стратифицированная выборка элементов, обеспечивающая соответствующий выбор элементов из каждого из материальных фасетных элементов; то есть от каждого класса предметов: вербального, числового и пространственного.

Обогащение предложения картографии

План исследования можно обогатить, добавив к предложению о картировании дополнительную независимую классификацию наблюдений в форме дополнительного аспекта содержания, тем самым облегчая систематическую дифференциацию наблюдений. Например, предметы разведки могут быть классифицированы также в соответствии с когнитивная операция требуется для правильного ответа на элемент: будь то вызов правила (память), применение правила или вывод правила. Вместо трех суб-содержательных вселенных интеллекта, определяемых только материальным аспектом, теперь у нас есть девять суб-суб-вселенных, определяемых декартовым умножением материального и ментальных аспектов. См. Предложение сопоставления 2.

Сопоставление предложения 2. Схема наблюдения за разведкой, иллюстрирующая Намерение: Добавление аспекта содержания к существующему предложению сопоставления

Другой способ обогатить предложение сопоставления (и объем исследования) - добавить элемент (класс) к существующему аспекту контента; например, добавив Межличностный материал в качестве нового элемента к существующему аспекту материала. См. Предложение сопоставления 3.

Сопоставление предложения 3. Схема наблюдения за разведкой, иллюстрирующая Расширение: Добавление элемента (класса) к существующему аспекту содержимого

Профили контента

Выбор одного элемента из каждого из двух фасетов контента определяет профиль контента, который представляет суб-юниверс контента интеллект. Например, профиль содержимого (c2, q2) представляет собой применение правил для выполнения математических вычислений, таких как деление в столбик. 3 × 4 = 12 суб-контент-вселенных составляют двенадцать классов интеллектуальных объектов. При разработке наблюдений исследователь будет стремиться включить ряд разнообразных элементов из каждого из этих 12 классов, чтобы выборка наблюдаемых элементов была репрезентативной для всей интеллектуальной вселенной. Конечно, эта стратифицированная выборка элементов зависит от концепции исследователей изучаемой области, что отражается в их выборе аспектов содержания. Но в более широком цикле научного исследования (который включает фасетные SSA эмпирических данных, см. Следующий раздел) эта концепция может претерпевать корректировки и переформирование, сужаясь к улучшенному выбору аспектов содержания и наблюдений и, в конечном итоге, к надежным теориям исследования. домен. В общем, предложения отображения могут достигать высоких уровней сложности, размера и абстракции посредством различных логических операций, таких как рекурсия, скручивание, декомпозиция и завершение.

Декартово разложение и завершение: пример

При составлении предложения по отображению делается попытка включить наиболее важные аспекты содержания в соответствии с существующей концепцией исследователя исследуемой области. И для каждого аспекта контента делается попытка указать его элементы (классы) так, чтобы они были исчерпывающими (полными) и исключающими (не перекрывающимися) друг друга. Таким образом, элемент «межличностный» был добавлен к существующему трехэлементному материальному аспекту интеллекта посредством двухэтапной фасетно-аналитической процедуры. Шаг 1, декартово разложение трехэлементного аспекта материала на два бинарных элементарных аспекта: аспект среды, элементами которого являются «физическая среда» и «человек-среда»; и фасет символизации, элементы которого являются «символическими» (или высокой символизацией) и «конкретными» (или низкой символизацией). Шаг 2, затем выполняется декартово завершение материальной грани, пытаясь вывести недостающий материал, классифицируемый как «среда обитания человека» и «бетон».

Таблица 1. Декартово разложение материального фасета на два основных бинарных фасета с последующим декартовым завершением их произведения

В Facet Theory эту классификацию 2 × 2 материала для тестирования интеллекта теперь можно сформулировать как гипотезу, подлежащую проверке эмпирически с использованием Faceted Small Space Analysis (SSA).

Дополнительные темы, касающиеся предложения сопоставления

Несмотря на кажущийся жестким внешним видом, формат предложения отображения может вмещать сложные семантические структуры, такие как повороты и рекурсии, сохраняя при этом свою существенную декартову структуру.^[6]

В дополнение к управлению сбором данных, сопоставление предложений использовалось для анализа содержания различных концептуализаций и текстов, таких как качество организации, юридические документы и даже сказки.^{[7] [8]}

Концепты как пространства: фасетный SSA

Теория фасетов рассматривает многомерный атрибут как вселенную содержимого, определяемую набором всех его элементов, как указано в определении-сопоставлении атрибутов, показанном выше. В теоретико-фасетном анализе данных атрибут (например, интеллект) сравнивается с геометрическим пространством подходящей размерности, точки которого представляют все возможные элементы. Наблюдаемые элементы обрабатываются Faceted SSA, версией многомерного масштабирования (MDS).^[9] который включает в себя следующие шаги:

1. Получение в качестве входных данных (или вычисление из входных данных) матрицы коэффициентов сходства с указанием для каждой пары элементов, насколько они похожи. Типичным примером является вычисление матрицы коэффициентов корреляции на основе входных данных, где размер коэффициента корреляции между двумя переменными отражает степень сходства между ними.
2. Отображение элементов (переменных) как точек в геометрическом пространстве заданной размерности с сохранением, насколько это возможно, условия: Если р_ij> г_kl тогда d_ij<d_kl для всех я, j, k, l куда р_ij мера сходства (например, коэффициент корреляции) между переменными я, j и d_ij расстояние между их точками в пространстве. Чаще всего используется функция евклидова расстояния (расстояние Минковского порядка 2). Но требуются другие функции расстояния, особенно функция расстояния Манхэттена (расстояние Минковского порядка 1). (См. Подраздел Связь пространства измерений POSAC с концептуальным пространством SSA ниже.) Согласование полученного отображения можно оценить с помощью функции потерь - коэффициента стресса Крускала.^[10] или коэффициент отчуждения Гуттмана.^[3]
3. Как можно лучше разделить пространство на простые области (полосы, секторы или концентрические кольца), переменные которых находятся в соответствии 1-1 с заранее заданным аспектом содержимого. Для запуска этой опции фасеты содержимого должны быть указаны как входные данные Faceted SSA.

Шаг 3 Faceted SSA включает идею о том, что наблюдаемые переменные, включенные в процедуру Faceted SSA, обычно составляют небольшое подмножество из бесчисленных элементов, которые определяют атрибут content-universe. Но их расположение в пространстве может служить подсказкой, которая направляет разделение пространства на регионы, фактически классифицируя все точки в пространстве, включая те, которые относятся к ненаблюдаемым объектам (если бы они были замечены). Таким образом, эта процедура проверяет региональную гипотезу о том, что суб-вселенные содержания, определенные элементами аспекта содержания, существуют каждая как отдельная эмпирическая сущность. Индекс разделения Шай-Кингсли (SI) оценивает степень соответствия разделения аспекту содержания.^[11]

Пространственные научные образы, предлагаемые Facet Theory, имеют далеко идущие последствия, которые отличают Facet Theory от других статистических процедур и исследовательских стратегий. В частности, это облегчает выводы относительно структуры всей исследуемой контентной вселенной, включая ненаблюдаемые элементы.

Рисунок 1. Теория интеллекта Радекса

Пример 1. Структура интеллект

Тестирование интеллекта было задумано, как описано выше, с предложением сопоставления 2 в качестве основы для его

наблюдение.^[12] Во многих исследованиях были проанализированы различные выборки переменных, соответствующих предложению 2 о картировании, что подтвердило две региональные гипотезы:

• Фасет материального содержания соответствует разделению граненной карты интеллекта SSA на сектора, каждый из которых содержит элементы одного материала - словесный, числовой и образный (пространственный).
• Фасет когнитивной операции соответствует разделению карты интеллекта Faceted SSA на концентрические кольца, причем самое внутреннее кольцо содержит элементы вывода; среднее кольцо, содержащее элементы применения правил; и самое внешнее кольцо, содержащее элементы для отзыва правил.

Суперпозиция этих двух шаблонов разделения приводит к схеме, известной как теория интеллекта Радекса, см. Рисунок 1.

Структура radex, зародившаяся ранее как «новый подход к факторному анализу»,^[13] был обнаружен также при изучении восприятия цвета^[14] а также в других областях исследований.

Faceted SSA применяется в самых разных областях исследований, включая исследования ценностей.^[15][16] социальная работа ^[17] и криминология^[18][19]и много других.

Рисунок 2. Структура подсистем функционирования системного качества жизни (SQOL).

Пример 2. Структура качества жизни.

Системное качество жизни (SQOL) было определено как эффективное функционирование человека в четырех функционирующих подсистемах: культурной, социальной, физической и личностной подсистемах.^[20] Аксиоматические основы SQOL предполагают региональную гипотезу о том, что четыре подсистемы должны быть эмпирически подтверждены (т. Е. Элемент каждой будет занимать отдельный регион) и что они взаимно ориентированы в пространстве в определенном паттерне 2x2, топологически эквивалентном классификации 2x2, показанной в Рисунок 2 (т.е. личность противоположна культурной, а физическая противоположна социальной). Гипотеза подтверждена многими исследованиями.

Виды схем перегородок

Из множества возможных разделов двумерного концептуального пространства три особенно полезны для построения теории:

• В Осевой Образец разделения: Разделение пространства на полосы параллельными линиями.
• В Угловой (а / к / а полярный) Схема разделения: разделение пространства на секторы по радиусам, исходящим из точки в пространстве.
• В Радиальный (а / к / а модульный) Схема разбиения: разбиение пространства на концентрические кольца концентрическими окружностями.

Преимущества этих шаблонов разделения как вероятных моделей поведенческих данных заключаются в том, что они описываются минимальным числом параметров, что позволяет избежать переобучения; и что они могут быть обобщены на разбиение в пространствах большей размерности.

При проверке региональных гипотез соответствие аспекта содержания любой из этих трех моделей оценивается с помощью индекса разделения (SI), нормализованной меры отклонения переменных от региона, присвоенного им моделью.^[11]

Также были обнаружены концептуальные пространства в более высоких измерениях.^[21]

Принципы многогранного SSA: резюме

1. Исследуемый атрибут представлен геометрическим пространством.

2. Переменные атрибута представлены в виде точек в этом пространстве. И наоборот, каждая точка в геометрическом пространстве является переменной атрибута. Это принцип непрерывности.^[4]

3. Наблюдаемые переменные, расположенные в виде точек на эмпирической карте Faceted SSA, представляют собой всего лишь выборку, взятую из множества (возможно, бесконечного множества) переменных, составляющих совокупность содержания исследуемого атрибута.

4. Все наблюдаемые переменные, выбранные для SSA, должны принадлежать одной и той же вселенной контента. Это обеспечивается включением в SSA только переменных, диапазоны которых упорядочены аналогичным образом относительно общего значения (CMR).

5. Выборка переменных, отмеченных на карте Faceted SSA, используется в качестве руководства для вывода возможных разделов карты атрибутов SSA на отдельные регионы, каждая из которых представляет компонент или субдомен атрибута.

6. В теории фасетов отношения между компонентами атрибутов (такими как вербальный интеллект и числовой интеллект как компоненты интеллекта) выражаются в геометрических терминах, таких как формы и пространственная ориентация, а не в алгебраических терминах. Точно так же можно описать отношения между соседними странами с точки зрения их формы и географической ориентации, а не с точки зрения расстояний между ними.

7. Представление атрибута как непрерывного пространства, из которого производится выборка переменных, означает, что кластеризация переменных на карте SSA не имеет значения: это просто артефакт выборки переменных. Сгруппированные вместе выбранные переменные могут принадлежать к разным субдоменам; точно так же, как два близких города могут находиться в разных странах. И наоборот, переменные, которые находятся далеко друг от друга, могут принадлежать одной и той же подобласти; точно так же, как два города, которые находятся далеко друг от друга, могут принадлежать одной стране. Важна идентификация отдельных регионов с четко определенными субдоменами. Facet Theory предлагает способ преодолеть случайную кластеризацию переменных, сосредоточив внимание на устойчивом и воспроизводимом аспекте данных, а именно на способности разделения пространства атрибутов.

Эти принципы вводят новые концепции, поднимают новые вопросы и открывают новые способы понимания поведения. Таким образом, Facet Theory представляет собой собственную парадигму для многомерных поведенческих исследований.

Дополнительные темы в многогранном SSA

Помимо анализа матрицы данных N отдельные лица п переменных, как обсуждалось выше, Faceted SSA полезно использовать в дополнительных режимах.

Прямые меры (не) сходства. Для заданного набора объектов и меры сходства (или несходства) между каждой парой объектов Faceted SSA может предоставить карту, регионы которой соответствуют указанной классификации объектов. Например, при исследовании восприятия цвета выборка спектральных цветов с мерой воспринимаемого сходства между каждой парой цветов привела к теории радекса спектрального восприятия цвета.^[14] В исследовании элит сообщества, мера расстояния, разработанная между парами лидеров сообщества, дала социометрическую карту, регионы которой интерпретировались с точки зрения социологической теории.^[22]

Матрица транспонированных данных. Изменяя роли индивидов и переменных, Faceted SSA может применяться к отдельным лицам, а не к переменным. Эта редко используемая процедура может быть оправдана, если переменные равномерно охватывают область исследования. Например, взаимосвязи между членами многопрофильной группы экспертов были рассчитаны на основе их оценок качества жизни людей. Получившаяся в результате карта Faceted SSA дала набор дисциплин, поддерживающих связь между социальными институтами и человеческими ценностями.^[23]

Множественное масштабирование с помощью POSAC

В теории фасетов измерение исследуемых лиц (и, в более широком смысле, всех лиц, принадлежащих к выборочной совокупности) по многомерному признаку, основывается на следующих предположениях и условиях:

• Переменные, обрабатываемые операциями измерения по теории аспектов, которые будут описаны ниже, равномерно охватывают вселенную содержимого атрибутов. Чтобы обеспечить такой охват, операции измерения по теории фасетов часто выполняются не на выборке самих наблюдаемых элементов, а, скорее, на составных переменных, представляющих элементы фасетов, которые были проверены Faceted SSA.
• Выборка людей достаточно богата, чтобы можно было наблюдать существующие профили обработанных переменных.
• В результирующем измерении отношения порядка между людьми должны сохранять достаточно хорошие отношения порядка (включая сопоставимость и несравнимость; см. Ниже) между профилями людей обрабатываемых переменных.
• Результат операции измерения дает наименьшее количество шкал;
• Результирующие шкалы представляют собой фундаментальные переменные, интерпретация которых зависит от содержания наблюдаемых элементов, но не зависит от конкретной выборки наблюдаемых элементов.

Частичный анализ наблюдаемых данных. Пусть наблюдаемые предметы v₁, ..., v_п с диапазоном общепринятого значения (CMR) представляют исследуемую вселенную контента; позволять А₁,...,А_п быть их диапазон с каждым А_j упорядочены от высокого к низкому относительно общего смысла; и разреши А = А₁×А₂ × ... × А_п быть декартовым произведением всех граней диапазона, Aj (j = 1,...,п). Система наблюдений - это отображение п → А от наблюдаемых субъектов п к А, то есть каждый предмет p_я получает балл от каждого А_j (j = 1,...,п), или же п_я ${ displaystyle Rightarrow}$ [а_i1, а_i2, ..., а_в] ${ Displaystyle Equiv}$ а(п_я). Точка a (p_я) в А также называется профилем п_я, и подмножество A ’из A (${ displaystyle A ' substeq A}$) наблюдаемых профилей называется скалограммой. Facet Theory определяет отношения между профилями следующим образом: Два разных профиля а_я = [а_i1, а_i2, ..., а_в] и а_j = [а_j1, а_j2,..., а_jn], сопоставимы, обозначаются а_яSа_j, с_я лучше чем а_j, а_я> а_j , если и только если а_ik ≥ а_jk для всех k=1 ... п, а_{ik '} > а_{jk '} для некоторых k. Два разных профиля несопоставимы, обозначенные а_я$а_j, если ни а_я> а_j ни а_j> а_я. А, и, следовательно, его подмножество А ', образуют частично упорядоченный набор.

Фасет Теоретическое измерение состоит в отображении точек а(п_я) из А ' в координатное пространство Икс наименьшей размерности при сохранении наблюдаемых отношений порядка, в том числе несравнимости:

Определение. П.о. размерность скалограммы А ' самый маленький м (м ≤ п), для которых существует m фасетов Икс₁...ИКС_м (каждый Икс_я упорядочено) и существует 1 - 1 отображение Q: X '→ A' из Х '(Х' ${ displaystyle substeq}$ Х = Х₁Икс...ИксИкс_м) к А ' такой, что а> а ' если и только если х> х ' в любое время Q отображает точки х, х ' в ИКС' к пунктам а, а ' в А.^[5]

Координатные шкалы, Икс_я (я=1 ... м) представляют собой основные фундаментальные переменные, значения которых должны быть выведены в любом конкретном приложении. Хорошо известная шкала Гуттмана^[24] [24] (пример: 1111, 1121, 1131, 2131, 2231, 2232) - это просто 1-мерная скалограмма, то есть та, все профили которой сопоставимы.

Порядок определения и интерпретации координатных шкал Икс₁...ИКС_м называется множественным масштабированием. Множественное масштабирование облегчается анализом скалограмм частичного порядка по базовым координатам (POSAC), для которых были разработаны алгоритмы и компьютерные программы. На практике предпринимаются попытки определенной размерности и ищется решение, наилучшим образом удовлетворяющее условию сохранения порядка. Программа POSAC / LSA находит оптимальное решение в двумерном координатном пространстве, а затем с помощью анализа решеточного пространства (LSA) анализирует роль каждой из переменных в структурировании двухмерного пространства POSAC, тем самым облегчая интерпретацию полученных результатов. координатные шкалы, Икс₁, ИКС₂. Последние разработки включают алгоритмы компьютеризированного разбиения пространства POSAC по фасету диапазона каждой переменной, что создает значимые интервалы на шкалах координат, X, Y.

Пример 3. Модели просмотра ТВ: анализ данных упрощенного опроса.^[25]

Представителям определенного населения было задано четыре вопроса: смотрели ли они телевизор накануне вечером в течение часа: в 19:00 (первый час), в 20:00 (второй час), в 21:00 (третий час) и в 22:00 (четвертый час). ). Положительный ответ на вопрос был записан как 1, а отрицательный ответ как 0. Так, например, профиль 1010 представляет человека, который смотрел телевизор в 19:00 и 21:00, но не в 20:00 и 22:00. Предположим, что из 16 комбинаторно возможных профилей эмпирически наблюдались только следующие одиннадцать профилей: 0000, 1000, 0100, 0010, 0001, 1100, 0110, 0011, 1110, 0111, 1111. На рис. эти профили в 2-мерное координатное пространство.

Рис. 3. Измерение просмотра телепрограмм: отображение набора из 11 наблюдаемых профилей с сохранением двумерного порядка.

Учитывая это решение POSAC, делается попытка интерпретировать две координаты, Икс₁ и Икс₂, как две фундаментальные шкалы исследуемого феномена вечернего просмотра телепередач исследуемым населением. Это делается, во-первых, путем интерпретации интервалов (классов эквивалентности) внутри каждой координаты, а затем попытки концептуализировать производные значения упорядоченных интервалов в терминах значимого понятия, которое может быть приписано координате.

В данном упрощенном примере это легко: просматривая карту, мы пытаемся идентифицировать функцию, которая отличает все профили с заданной оценкой в Икс₁. Таким образом, мы находим, что профили с Икс₁= 4, и только они представляют просмотр телевизора в четвертый час. Профили с Икс₁= 3 все имеют 1 в третьем часе просмотра, но 0 в четвертый час, то есть третий час является последним часом просмотра. Икс₁= 2 назначается и только тем профилям, последний час просмотра которых приходится на второй час. И наконец, Икс₁= 1 соответствует профилю 1000, который представляет тот факт, что первый час является единственным и, следовательно, последним часом просмотра (игнорируя профиль 0000 тех, кто не смотрел телевизор в указанные часы, и ему может быть назначено (0 , 0) в этом координатном пространстве). Отсюда можно сделать вывод, что интервалы координат Икс₁ представляют j = последний час из четырех наблюдаемых часов, в который смотрели телевизор, (j= 1… 4). Аналогичным образом обнаруживается, что интервалы координат Икс₂ представляют 5-k куда k (k= 1,… 4) - самый ранний час просмотра телевизора.

Действительно, для профилей наблюдаемого набора, которые представляют собой единую последовательность непрерывного просмотра телепередач, указание самого раннего и последнего часов просмотра дает полное описание часов просмотра.

Пример 3 иллюстрирует ключевые особенности множественного масштабирования от POSAC, которые делают эту процедуру многомерным измерением на основе теории:

• Две оценки, присвоенные методом множественной шкалы каждому наблюдаемому профилю - и, следовательно, каждому человеку в наблюдаемой выборке - заменяют более многочисленные оценки (четыре в данном примере) наблюдаемых переменных, сохраняя при этом все наблюдаемые отношения порядка, включая несопоставимость. Новые баллы оценивают наблюдаемых людей по двум координатным шкалам, которые считаются фундаментальными переменными Природы.
• Две шкалы координат имеют внутреннее значение, которое исследует более глубокое значение, чем наблюдаемые переменные, рассматриваемые по отдельности. В данном примере самый ранний и самый поздний час действительно исчерпывают основные аспекты модели просмотра телевизора, учитывая конкретный набор наблюдаемых профилей.
• Концепции, полученные для фундаментальных ненаблюдаемых шкал координат, сохраняют CMR - основное значение, общее для всех наблюдаемых переменных. В данном примере CMR - это больше (а не меньше) телепрограмм. Поскольку, учитывая наблюдаемые переменные, каждая из них регистрирует большое (1) и низкое (0) просмотры телепередач за данный час. И производные шкалы координат также показывают рекордные (4) и низкие (1) просмотры ТВ, поскольку при прочих равных условиях, чем позже последний час просмотра, тем больше ТВ смотрит (X1); и чем раньше наступает самый ранний час просмотра, тем больше телевизор смотрит ( Икс₂ ).

Эти функции присутствуют также в менее очевидных приложениях для создания шкал с новым значением.

Пример 4. Измерение отношения к справедливому распределению доходов

В системной теории распределительной справедливости (DJ) альтернативные распределения заданного количества образовательных ресурсов (100 дополнительных учебных часов) между одаренными и обездоленными учениками могут быть классифицированы по одному из четырех типов, предпочтение каждого из которых отражает отношение к ди-джею. :^[26]

Равенство, при котором одаренные и обездоленные ученики получают одинаковое количество дополнительных ресурсов;

Fairness, where the disadvantaged pupils get more of the resource than the gifted, in proportion to their weakness relative to the gifted;

Utility, where the gifted get more of the resource than the disadvantaged pupils (so as to promote future contribution to the general good);

Corrective Action, where the disadvantaged pupils get more of the resource than the gifted over and above the proportion of their weakness relative to the gifted pupils, (so as to compensate them for past accumulated disadvantage);

Following the Faceted SSA validation of the four DJ modes of Equality, Fairness, Utility, and Corrective Action, profiles based on eight dichotomized DJ attitudes variables observed on a sample of 191 respondents, were created. 35 of the 256 combinatorially possible profile were observed and analyzed by POSAC to obtain the measurement space shown in Figure 4. For each of the variables an optimal partition- line was computed that separates a high from a low score in that variable. (Logically, partition-lines must look like non-increasing step functions.) Then, for each of the four attitude types, the characteristic partition-line was identified as follows:

Figure 4. The Measurement of Distributive Justice Attitudes: Order-Preserving Map of Observed DJ Profiles Represented by their ID number

Fairness—a straight vertical line;

Utility—a straight horizontal line;

Equality—an L-shaped line;

Corrective action—an inverted-L-shaped line

The content significance of the intervals induced by these partition-lines on the X coordinate and on the Y coordinate of the POSAC space, are now identified and thereby define the contents of the X and Y Coordinate Scales of DJ attitudes.

The X-coordinate Scale, interpreted as Enhanced Fairness Attitude Scale:

• Interval 1. Low Fairness & Low Equality DJ Attitude
• Interval 2. Low Fairness & High Equality DJ Attitude
• Interval 3. High Fairness & Low Corrective Action DJ Attitude
• Interval 4. High Fairness & High Corrective Action DJ Attitude

That is, Enhanced Fairness Attitude, even if low, (interval 1 and 2) is somewhat present when Equality is favored (interval 2). And if Enhanced Fairness Attitude is high (intervals 3 and 4), it reaches the extreme level (interval 4) when Corrective Action is favored.

The Y-coordinate Scale, interpreted as Enhanced Utility Attitude Scale:

• Interval 1. Low Utility & Low Equality DJ Attitude
• Interval 2. Low Utility & High Equality DJ Attitude
• Interval 3. High Utility s & Low Corrective Action DJ Attitude
• Interval 4. High Utility & High Corrective Action DJ Attitude

That is, Enhanced Utility Attitude, even if low, (interval 1 and 2) is somewhat present when Equality is favored (interval 2). If Enhanced Utility Attitude is high (intervals 3 and 4), it reaches the extreme level (interval 4) when Corrective Action is favored. (This may well reflect the sentiment that, in the long run, the advancement of disadvantaged pupils serves the common good.)

The meanings of the fundamental variables, X and Y, while relying on the concepts of fairness and of utility, respectively, suggest new notions that modify them. The new notions were christened Enhanced (or Extended) Fairness and Enhanced (or Extended) Utility.

Complementary topics in partial order spaces

Higher order partition lines. The above simple measurement space illustrates partition-lines that are straight or have one bend. More complex measurement spaces result with items whose partition-lines have two or more bends.^[27]

While partial order spaces are used mainly for analyzing score profiles (based on range facets), under certain conditions, they may be applied to the analysis of content profiles; i.e., those based on content facets.^[28]

Relating POSAC Measurement Space to the SSA Concept Space. Based on the same data matrix, POSAC measurement space and Faceted SSA concept space are mathematically related. Proved relationships rely on the introduction of a new kind of coefficient, E*, the coefficient of structural similarity.^[5] While E* assesses pairwise similarity between variables, it does depend on variations in the remaining n-2 variables processed. That is, in the spirit of Facet Theory, E* depends on the sampled contents as well as on the sampled population. LSA1 procedure, within 2-dimensional POSAC/LSA program, is a special version of SSA with E* as the similarity coefficient, and with lattice ("city block") as the distance function. Under specified conditions, LSA1 may be readily derived from the boundary scales of the POSAC configuration, thereby highlighting concept/measurement space duality.

Facet theory: comparisons and comments

Concerned with the entire cycle of multivariate research – concept definition, observational design, and data analysis for concept-structure and measurement, Facet Theory constitutes a novel paradigm for the behavioral sciences. Hence, only limited aspects of it can be compared with specific statistical methods.

A distinctive feature of Facet Theory is its explicit concern with the entire set of variables included in the investigated content-universe, regarding the subset of observed variables as but a sample from which inferences can be made. Hence, clusters of variables, if observed, are of no significance. They are simply unimportant artifacts of the procedure for sampling of the variables. Это контрастирует с кластерный анализ или же факторный анализ where recorded clustering patterns determine research results and interpretations. There have been various attempts to describe technical differences between Факторный анализ and Facet Theory.^{[29] [30]} Briefly, it may be said that while Факторный анализ aims to structure the set of variables selected for observation, Facet Theory aims to structure the entire content universe of all variables, observed as well as unobserved, relying on the continuity principle and using regional hypotheses as an inferential procedure.

Guttman's SSA, as well as Multidimensional Scaling (MDS) in general, were often described as a procedure for visualizing similarities (e.g., correlations) between analyzed units (e.g., variables) in which the researcher has specific interest. (See, for example, Wikipedia, October 2020: "Многомерное масштабирование (MDS) is a means of visualizing the level of similarity of individual cases of a dataset"). Modern Facet Theory, however, concerned with theory construction in the behavioral sciences, assigns SSA/MDS space a different role. Regarding the analyzed units as a sample of statistical units representing all units that pertain to the content-universe, their dispersion in the SSA/MDS space is used to infer the structure of the content universe. Namely, to infer space partitionings that define components of the content-universes and their spatial interrelationships. The inferred structure, if replicated, may suggest a theory in the investigated domain and provide a basis for theory-based measurements.

Misgivings and responses

Skeptics have voiced the following reservation: Suppose you get a successful SSA map, with a partition-pattern that matches a content-classification of the mapped variables. Ну и что? Does this map qualify as a theory?

In response, it may be pointed out that (a) consistently replicated empirical partition-patterns in a domain of research constitute a scientific lawfulness which, as such, are of interest to Science; (b) Often a partition-pattern lead to insights that explain behavior and may have potential applications. For example, the Radex Theory of Intelligence implies that inferential abilities are less differentiated by kinds of material than memory (or rule-recall, see Example 1 above). (c) Faceted SSA is a useful preliminary procedure for performing meaningful non arbitrary measurements by Multiple Scaling (POSAC). See Example 4.

A common doubt about SSA was voiced by a sympathetic but mystified user of SSA: "Smallest Space Analysis seems to come up with provocative pictures that an imaginative observer can usually make some sense of –– in fact, I have often referred to SSA as the sociologist's Rorschach test for imagination".^[31]. Indeed, missing in Facet Theory are statistical significance tests that would indicate the stability of discovered or hypothesized partition patterns across population samples. For example, it is not clear how to compute the probability of obtaining a hypothesized partition pattern, assuming that in fact the variables are randomly dispersed over the SSA map.

In response, facet theorists claim that in Facet Theory the stability of research results is established by replications, as is the common practice in the natural sciences. Thus, if the same partition-pattern is observed across many population samples (and if no unexplained counterexamples are recorded), confidence in the research outcome would increase. Moreover, Facet Theory adds a stringent requirement for establishing scientific lawfulness, namely that the hypothesized partition-pattern would hold also across different selections of variables, sampled from the same mapping sentence.

Facet Theory is regarded as a promising метатеория for the behavioral sciences by Клайд Кумбс, an eminent психометрический врач and pioneer of mathematical psychology, who commented: “It is not uncommon for a behavioral theory to be somewhat ambiguous about its domain. The result is that an experiment usually can be performed which will support it and another experiment will disconfirm it. … The problem of how to define the boundaries of a domain, especially in social and behavioral science, is subtle and complex. Guttman’s facet theory (see Shye, 1978) is, I believe, the only substantial attempt to provide a general theory for characterizing domains; in this sense, it is a metatheory. As behavioral science advances so will the need for such theory.”^[32]

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Guttman, R. & Greenbaum, C. W. (1998). "Facet Theory: Its Development and Current Status." Европейский психолог, Vol. 3, No. 1, March 1998, pp. 13–36.
• Levy, S. (Ed.) (1994). Louis Guttman on Theory and Methodology: Selected Writings. Aldershot: Dartmouth.
• Canter (Ed.) (1985). Facet Theory: Approaches to Social Research. Нью-Йорк: Спрингер.
• Guttman, R. (1994). Radex Theory. In Robert J. Sternberg (Ed.), Encyclopedia of Human Intelligence. New York, NY: Macmillan Publishing, 907–912.