Закон Факсена - Википедия - Faxéns law

В динамика жидкостей, Законы Факсена связать скорость шара ${ displaystyle mathbf {U}}$ и угловая скорость ${ displaystyle mathbf { Omega}}$ силам, крутящему моменту, напряжению и потоку, которые он испытывает при низких Число Рейнольдса (ползучий поток) условия.

Первый закон

Первый закон Факсена был введен в 1922 году шведским физиком Хильдинг Факсен, который в то время был активен в Уппсальский университет, и задается^[1][2]

${ displaystyle mathbf {F} = 6 pi mu a left [ left (1 + { frac {a ^ {2}} {6}} nabla ^ {2} right) mathbf {u } '- ( mathbf {U} - mathbf {u} ^ { infty}) right],}$

куда

• ${ displaystyle mathbf {F}}$ сила, прилагаемая жидкостью к сфере
• ${ displaystyle mu}$ - ньютоновская вязкость растворителя, в который помещена сфера.
• ${ displaystyle a}$ радиус сферы
• ${ displaystyle mathbf {U}}$ - (поступательная) скорость шара
• ${ displaystyle mathbf {u} '}$ скорость возмущения, вызванная другими сферами во взвешенном состоянии (не фоновым нагнетаемым потоком), вычисленная в центре сферы
• ${ displaystyle mathbf {u} ^ { infty}}$ - фоновый поток, оцениваемый в центре сферы (в некоторых ссылках установлен на ноль).

Его также можно записать в виде

${ displaystyle mathbf {U} - mathbf {u} ^ { infty} = mathbf {u} '+ b_ {0} mathbf {F} + { frac {a ^ {2}} {6} } nabla ^ {2} mathbf {u} ',}$

куда ${ displaystyle b_ {0} = - { frac {1} {6 pi mu a}}}$ это подвижность.

В случае, когда градиент давления мал по сравнению с масштабом длины диаметра сферы, и когда нет внешней силы, последними двумя членами этой формы можно пренебречь. В этом случае внешний поток жидкости просто адвектирует сферу.

Второй закон

Второй закон Факсена дан^[1][2]

${ displaystyle mathbf {T} = 8 pi mu a ^ {3} left [{ frac {1} {2}} left ({ boldsymbol { nabla}} times mathbf {u}) ' right) - ( mathbf { Omega} - mathbf { Omega} ^ { infty}) right],}$

куда

• ${ displaystyle mathbf {T}}$ крутящий момент, прилагаемый жидкостью к сфере
• ${ displaystyle mathbf { Omega}}$ - угловая скорость шара
• ${ Displaystyle mathbf { Omega} ^ { infty}}$ - угловая скорость фонового потока, вычисленная в центре сферы (в некоторых источниках установлена ​​равная нулю).

'Третий закон'

Бэтчелор и Грин^[3] вывел уравнение для стресслета, задаваемое^[1][2]

${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {S}}} = { frac {10} {3}} pi mu a ^ {3} left [2 { boldsymbol { mathsf {E}}} ^ { infty} + left (1 + { frac {1} {10}} a ^ {2} nabla ^ {2} right) left ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} '+ ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u}') ^ { mathrm {T}} right) right],}$

куда

• ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {S}}}}$ - напряжение (симметричная часть первого момента силы), оказываемое жидкостью на сферу,
• ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} '}$ - тензор градиента скорости; ${ Displaystyle {} ^ { mathrm {T}}}$ представляет собой транспонирование; и так ${ displaystyle { frac {1} {2}} left [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} '+ ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u}') ^ { mathrm {T}} right]}$ - тензор скорости деформации или деформации.
• ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {E}}} ^ { infty} = { frac {1} {2}} left [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} ^ { infty } + ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} ^ { infty}) ^ { mathrm {T}} right]}$ - скорость деформации фонового потока, оцениваемая в центре сферы (в некоторых ссылках установлена ​​на ноль).

Обратите внимание, что на сфере нет скорости деформации (нет ${ displaystyle { boldsymbol { mathsf {E}}}}$), так как сферы считаются жесткими.

Закон Факсена - это поправка к Закон Стокса для трения о сферические объекты в вязкий жидкость, действует, когда объект приближается к стене контейнера.^[4]

Смотрите также

• Метод погруженных границ

Примечания

Рекомендации

• Факсен, Х. (1922), "Der Widerstand gegen die Bewegung einer starren Kugel in einer zähen Flüssigkeit, die zwischen zwei parallelen ebenen Wänden eingeschlossen ist", Annalen der Physik, 373 (10): 89–119, Bibcode:1922АнП ... 373 ... 89Ф, Дои:10.1002 / andp.19223731003
• Happel, J .; Бреннер, Х. (1991), Гидродинамика с низким числом Рейнольдса, Дордрехт: Клувер