Слово фрактал Фибоначчи - Википедия - Fibonacci word fractal

В Слово Фибоначчи фрактал это фрактальная кривая определяется на плоскости из Слово Фибоначчи.

Определение

Первые итерации
Представление L-системы[1]

Эта кривая строится итеративно путем применения к слову Фибоначчи 0100101001001 ... и т. Д. Правила рисования нечетного-четного:

Для каждой цифры в позиции k :

  1. Проведите отрезок вперед
  2. Если цифра 0:
    • Поверните на 90 ° влево, если k даже
    • Поверните на 90 ° вправо, если k странно

К слову длины Фибоначчи пth Число Фибоначчи ) связана кривая сделано из сегменты. Кривая отображает три различных аспекта: п имеет вид 3k, 3k +1 или 3k + 2.

Характеристики

Числа Фибоначчи во фрактале слова Фибоначчи.

Некоторые из свойств фрактала слова Фибоначчи включают:[2][3]

  • Кривая , содержит сегменты, прямые углы и плоские углы.
  • Кривая никогда не самопересекается и не содержит двойных точек. В пределе он содержит бесконечное количество асимптотически близких точек.
  • Кривая представляет самоподобие во всех масштабах. Коэффициент уменьшения составляет . Этот номер, также называемый соотношение серебра присутствует в большом количестве объектов, перечисленных ниже.
  • Количество самоподобий на уровне п - число Фибоначчи −1. (точнее : ).
  • Кривая охватывает бесконечное количество квадратных структур уменьшающихся размеров в соотношении . (см. рисунок) Количество этих квадратных структур равно Число Фибоначчи.
  • Кривая также могут быть построены разными способами (см. галерею ниже):
    • Система повторяющихся функций гомотетии соотношения 4 и 1 и
    • Соединив вместе кривые и
    • Система Линдермайера
    • Путем итеративного построения 8 квадратных шаблонов вокруг каждого квадратного шаблона.
    • Повторным построением восьмиугольники
  • В Хаусдорфово измерение фрактала слова Фибоначчи , с , то Золотое сечение.
  • Обобщение на угол от 0 до , его размерность Хаусдорфа равна , с .
  • Хаусдорфова размерность его границы равна .
  • Если поменять местами «0» и «1» в слове Фибоначчи или в правиле рисования, получится аналогичная кривая, но ориентированная под 45 °.
  • Из слова Фибоначчи можно определить «плотное слово Фибоначчи» в алфавите из 3 букв: 102210221102110211022102211021102110221022102211021 ... ((последовательность A143667 в OEIS )). Использование этого слова более простого правила рисования определяет бесконечный набор вариантов кривой, среди которых:
    • "диагональный вариант"
    • "вариант свастики"
    • «компактный вариант»
  • Предполагается, что слово фрактал Фибоначчи появляется для каждого штурмское слово для которого наклон, записанный в непрерывное расширение фракции, заканчивается бесконечной серией «1».

Галерея

Плитка Фибоначчи

Несовершенная мозаика плиткой Фибоначчи. Площадь центральной площади стремится к бесконечности.

Сопоставление четырех кривые позволяют построить замкнутую кривую, охватывающую поверхность, площадь которой не равна нулю. Эта кривая называется «плиткой Фибоначчи».

  • Плитка Фибоначчи почти закрывает плоскость. При сопоставлении 4 плиток (см. Иллюстрацию) в центре остается свободный квадрат, площадь которого стремится к нулю, поскольку k стремится к бесконечности. На пределе бесконечная плитка Фибоначчи покрывает плоскость.
  • Если плитка заключена в квадрат со стороной 1, то ее площадь стремится к .
Идеальный тайлинг по снежинке Фибоначчи

Снежинка Фибоначчи

Снежинки Фибоначчи для я= 2 для п= От 1 до 4: , , , [4]

В Снежинка Фибоначчи является плиткой Фибоначчи, определяемой:[5]

  • если
  • иначе.

с и , "повернуть налево" и т. д. "повернуть направо" и ,

Несколько замечательных свойств:[5] · :[6]

  • Это плитка Фибоначчи, связанная с ранее определенным диагональным вариантом.
  • Он облицовывает самолет в любом порядке.
  • Он разбивает плоскость путем перевода двумя разными способами.
  • его периметр, на заказ п, равно . затемth Число Фибоначчи.
  • его площадь, под заказ п, следует за последовательными индексами нечетной строки Последовательность Пелля (определяется ).

Рекомендации

  1. ^ Рамирес, Хосе Л .; Рубиано, Густаво Н. (2014). "Свойства и обобщения фрактала слова Фибоначчи ", Математический журнал, Vol. 16.
  2. ^ Моннеро-Дюмен, Алексис (февраль 2009 г.). "Слово фрактал Фибоначчи ", независимый (hal.archives-ouvertes.fr).
  3. ^ Хоффман, Тайлер; Стейнхерст, Бенджамин (2016). "Хаусдорфова размерность обобщенных словесных фракталов Фибоначчи". arXiv:1601.04786 [math.MG ]. Cite имеет пустые неизвестные параметры: | дата доступа =, | publisher =, и | сайт = (помощь)
  4. ^ Рамирес, Рубиано и Де Кастро (2014). "Обобщение фрактала слова Фибоначчи и снежинки Фибоначчи ", Теоретическая информатика, Vol. 528, с.40-56. [1]
  5. ^ а б Блонден-Массе, Александр; Брлек, Сречко; Гарон, Ариана; и Лаббе, Себастьян (2009). "Плитки Кристоффеля и Фибоначчи ", Конспект лекций по информатике: дискретная геометрия для компьютерных изображений, с.67-8. Springer. ISBN  9783642043963.
  6. ^ А. Блонден-Массе, С. Лаббе, С. Брлек, М. Мендес-Франс (2010). "Снежные холмы Фибоначчи ".[мертвая ссылка ]

Смотрите также

внешняя ссылка