Теорема Фулкерсона – Чена – Ансти - Fulkerson–Chen–Anstee theorem

В Теорема Фулкерсона – Чена – Ансти это результат теория графов, филиал комбинаторика. Он предоставляет один из двух известных подходов к решению задача реализации орграфа, т.е. дает необходимое и достаточное условие для пар неотрицательных целые числа ${ displaystyle ((a_ {1}, b_ {1}), ldots, (a_ {n}, b_ {n}))}$ быть степень -превосходить пары простой ориентированный граф; последовательность, удовлетворяющая этим условиям, называется «диграфической». Д. Р. Фулкерсон ^[1] (1960) получили характеристику, аналогичную классической Теорема Эрдеша – Галлаи для графов, но в отличие от этого решения с экспоненциально большим количеством неравенств. В 1966 году Чен ^[2] улучшил этот результат, потребовав дополнительного ограничения, заключающегося в том, что пары целых чисел должны быть отсортированы в невозрастающем лексикографическом порядке, что приводит к n неравенствам. Anstee ^[3] (1982) в другом контексте заметил, что достаточно иметь ${ Displaystyle а_ {1} geq cdots geq а_ {п}}$. Бергер ^[4] заново изобрел этот результат и дает прямое доказательство.

Заявление

Последовательность ${ displaystyle ((a_ {1}, b_ {1}), ldots, (a_ {n}, b_ {n}))}$ неотрицательных целочисленных пар с ${ Displaystyle а_ {1} geq cdots geq а_ {п}}$ диграфично тогда и только тогда, когда ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i}}$ и для k такой, что ${ Displaystyle 1 Leq К Leq N}$:

${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {k} a_ {i} leq sum _ {i = 1} ^ {k} min (b_ {i}, k-1) + sum _ { я = k + 1} ^ {n} min (b_ {i}, k)}$

Более сильные версии

Бергер доказал^[4] что достаточно рассмотреть ${ displaystyle k}$-е неравенство такое, что ${ Displaystyle 1 Leq к <п}$ с ${ displaystyle a_ {k}> a_ {k + 1}}$ и для ${ Displaystyle к = п}$.

Другие обозначения

Теорема также может быть сформулирована в терминах нуля или единицы. матрицы. Связь можно увидеть, если понять, что каждый ориентированный граф имеет матрица смежности где суммы столбцов и суммы строк соответствуют ${ Displaystyle (а_ {1}, ldots, а_ {п})}$ и ${ displaystyle (b_ {1}, ldots, b_ {n})}$. Обратите внимание, что диагональ матрицы содержит только нули. Есть связь с отношением мажоризация. Определим последовательность ${ Displaystyle (а_ {1} ^ {*}, ldots, а_ {п} ^ {*})}$ с ${ displaystyle a_ {k} ^ {*}: = | {b_ {i} | i> k, b_ {i} geq k } | + | {b_ {i} | i leq k, b_ {i} geq k-1 } |}$. Последовательность ${ Displaystyle (а_ {1} ^ {*}, ldots, а_ {п} ^ {*})}$ также может быть определено исправленная диаграмма Феррерса. Рассмотрим последовательности ${ Displaystyle (а_ {1}, ldots, а_ {п})}$, ${ displaystyle (b_ {1}, ldots, b_ {n})}$ и ${ Displaystyle (а_ {1} ^ {*}, ldots, а_ {п} ^ {*})}$ в качестве ${ displaystyle n}$-мерные векторы ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$ и ${ displaystyle a ^ {*}}$. С ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} a_ {i} ^ {*} = sum _ {i = 1} ^ {k} min (b_ {i}, k-1) + сумма _ {i = k + 1} ^ {n} min (b_ {i}, k)}$ применяя принцип двойной счет, приведенная выше теорема утверждает, что пара неотрицательных целочисленных последовательностей ${ Displaystyle (а, б)}$ с невозрастанием ${ displaystyle a}$ диграфично тогда и только тогда, когда вектор ${ displaystyle a ^ {*}}$ мажоритарный ${ displaystyle a}$.

Обобщение

Последовательность ${ displaystyle ((a_ {1}, b_ {1}), ldots, (a_ {n}, b_ {n}))}$ неотрицательных целочисленных пар с ${ Displaystyle а_ {1} geq cdots geq а_ {п}}$ диграфично тогда и только тогда, когда ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i}}$ и существует последовательность ${ displaystyle c}$ так что пара ${ displaystyle (c, b)}$ диграфичен и ${ displaystyle c}$ мажоритарный ${ displaystyle a}$.^[5]

Характеристики схожих проблем

Подобные теоремы описывают последовательности степеней простых графов, простых ориентированных графов с петлями и простых двудольных графов. Первая проблема характеризуется Теорема Эрдеша – Галлаи. Последние два случая, эквивалентные см. Бергер,^[4] характеризуются Теорема Гейла – Райзера.

Смотрите также

• Алгоритмы Клейтмана – Ванга

Рекомендации