Основная лемма теории решет - Fundamental lemma of sieve theory

В теория чисел, то основная лемма теории решета любой из нескольких результатов, систематизирующих процесс применения ситовые методы к конкретным проблемам. Гальберштам & Richert^[1]:92–93записывать:

Любопытной особенностью литературы о ситах является то, что, хотя Брун с метод Есть лишь несколько попыток сформулировать общий Брун теорема (например, теорема 2.1); в результате появилось на удивление много работ, в которых достаточно подробно повторяются шаги аргументации Бруна.

Бриллиант и Гальберштам^[2]:42приписать терминологию Основная лемма к Йонас Кубилюс.

Общие обозначения

Мы используем следующие обозначения:

• А это набор Икс положительные целые числа и А_d его подмножество целых чисел, делящихся на d
• ш(d) и р_d являются функциями А и из d которые оценивают количество элементов А которые делятся на d, в соответствии с формулой

${displaystyle leftvert A_ {d} ightvert = {frac {w (d)} {d}} X + R_ {d}.}$

Таким образом ш(d) / d представляет собой приблизительную плотность членов, кратную d, и р_d представляет ошибку или остаточный член.

• п представляет собой набор простых чисел, а п(z) является произведением этих простых чисел ≤ z
• S(А, п, z) - количество элементов А не делится ни на какое простое число в п то есть ≤ z
• κ - константа, называемая плотностью отсева,^[3]:28 что появляется в предположениях ниже. Это средневзвешенное из числа классы остатков отсеивается каждым простым числом.

Основная лемма комбинаторного решета

Эта формулировка принадлежит Тененбауму.^[4]:60 Другие составы находятся в Гальберштам & Richert,^[1]:82 в Наголенниках,^[3]:92И в Фридлендер & Иванец.^{[5]:732–733}Делаем предположения:

• ш(d) это мультипликативная функция.
• Плотность просеивания κ удовлетворяет для некоторой постоянной C и любые действительные числа η и ξ такие, что 2 ≤ η ≤ ξ:

${displaystyle prod _ {eta leq pleq xi} left (1- {frac {w (p)} {p}} ight) ^ {- 1}$

Есть параметр ты ≥ 1, что есть в нашем распоряжении. Мы единообразно А, Икс, z, и ты который

${displaystyle S (a, P, z) = Xprod _ {pleq z, pin P} влево (1- {frac {w (p)} {p}} ight) {1 + O (u ^ {- u / 2 })} + Oleft (sum _ {dleq z ^ {u}, d | P (z)} | R_ {d} | ight).}$

В приложениях выбираем ты чтобы получить наилучший термин ошибки. В сите это количество уровней принцип включения-исключения.

Основная лемма решета Сельберга

Эта формулировка взята из Гальберштам & Richert.^{[1]:208–209} Другая формулировка находится в Diamond & Гальберштам.^[2]:29

Делаем предположения:

• ш(d) это мультипликативная функция.
• Плотность просеивания κ удовлетворяет для некоторой постоянной C и любые действительные числа η и ξ такие, что 2 ≤ η ≤ ξ:

${displaystyle sum _ {eta leq pleq xi} {frac {w (p) ln p} {p}}$

• ш(п) / p <1 - c для небольшого фиксированного c и все п
• | р_d | ≤ ω (d) где ω (d) - количество различных простых делителей числа d.

Основная лемма имеет почти такой же вид, как и для комбинаторного решета. Написать ты = ln Икс / ln z. Вывод такой:

${displaystyle S (a, P, z) = Xprod _ {pleq z, pin P} left (1- {frac {w (p)} {p}} ight) {1 + O (e ^ {- u / 2) })}.}$

Обратите внимание, что ты больше не является независимым параметром в нашем распоряжении, а регулируется выбором z.

Обратите внимание, что член ошибки здесь слабее, чем для основной леммы комбинаторного решета. Замечание Хальберштама и Рихерта:^[1]:221 «Таким образом, неверно утверждать, что время от времени в литературе утверждается, что сито Сельберга всегда лучше, чем сито Бруна».

Примечания