Основная теорема теории топоса - Fundamental theorem of topos theory

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Апрель 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, The основная теорема теории топоса заявляет, что ломтик ${ displaystyle mathbf {E} / X}$ из топос ${ displaystyle mathbf {E}}$ над любым из его объектов ${ displaystyle X}$ сам по себе топос. Более того, если есть морфизм ${ displaystyle f: A rightarrow B}$ в ${ displaystyle mathbf {E}}$ тогда есть функтор ${ displaystyle f ^ {*}: mathbf {E} / B rightarrow mathbf {E} / A}$ который сохраняет экспоненты и классификатор подобъектов.

Функтор отката

Для любого морфизма ж в ${ displaystyle mathbf {E}}$ есть связанный "функтор отката" ${ displaystyle f ^ {*}: = - mapsto f times - rightarrow f}$ что является ключевым в доказательстве теоремы. Для любого другого морфизма грамм в ${ displaystyle mathbf {E}}$ который имеет тот же кодомен, что и ж, их продукт ${ displaystyle f times g}$ диагональ их обратного квадрата, а морфизм, идущий из области ${ displaystyle f times g}$ в область ж противоположен грамм в квадрате отката, поэтому это откат грамм вдоль ж, который можно обозначить как ${ displaystyle f ^ {*} g}$.

Обратите внимание, что топос ${ displaystyle mathbf {E}}$ изоморфен срезу над своим собственным конечным объектом, т.е. ${ Displaystyle mathbf {E} cong mathbf {E} / 1}$, поэтому для любого объекта А в ${ displaystyle mathbf {E}}$ есть морфизм ${ displaystyle f: A rightarrow 1}$ и тем самым функтор отката ${ displaystyle f ^ {*}: mathbf {E} rightarrow mathbf {E} / A}$, поэтому любой кусок ${ displaystyle mathbf {E} / A}$ тоже топос.

Для данного среза ${ displaystyle mathbf {E} / B}$ позволять ${ Displaystyle X над B}$ обозначают его объект, где Икс является объектом базовой категории. потом ${ displaystyle B ^ {*}}$ - функтор, отображающий: ${ displaystyle - mapsto {B times - over B}}$. Теперь подайте заявку ${ displaystyle f ^ {*}}$ к ${ displaystyle B ^ {*}}$. Это дает

${ displaystyle f ^ {*} B ^ {*}: - mapsto {B times - over B} mapsto {{A over B} times {B times - over B} over {A over B}} cong {{ Big (} {A times _ {B} , B times - over B} { Big)} over {A over B}} cong {A times _ {B} B times - over A} cong {A times - over A} = A ^ {*}}$

вот как функтор отката ${ displaystyle f ^ {*}}$ отображает объекты ${ displaystyle mathbf {E} / B}$ к ${ displaystyle mathbf {E} / A}$. Кроме того, обратите внимание, что любой элемент C базового топоса изоморфна ${ displaystyle {1 times C over 1} = 1 ^ {*} C}$, поэтому если ${ displaystyle f: A rightarrow 1}$ тогда ${ displaystyle f ^ {*}: 1 ^ {*} rightarrow A ^ {*}}$ и ${ displaystyle f ^ {*}: C mapsto A ^ {*} C}$ так что ${ displaystyle f ^ {*}}$ действительно является функтором из базовых топосов ${ displaystyle mathbf {E}}$ на свой кусок ${ displaystyle mathbf {E} / A}$.

Логическая интерпретация

Рассмотрим пару основных формул ${ displaystyle phi}$ и ${ displaystyle psi}$ чьи расширения ${ Displaystyle [ _ | фи]}$ и ${ displaystyle [ _ | psi]}$ (где нижнее подчеркивание здесь означает нулевой контекст) - это объекты базовых топосов. потом ${ displaystyle phi}$ подразумевает ${ displaystyle psi}$ если есть моник из ${ Displaystyle [ _ | фи]}$ к ${ displaystyle [ _ | psi]}$. Если это так, то по теореме формула ${ displaystyle psi}$ верно в срезе ${ Displaystyle mathbf {E} / [ _ | phi]}$, потому что конечный объект ${ Displaystyle [ _ | фи] над [ _ | фи]}$ факторов среза через его расширение ${ displaystyle [ _ | psi]}$. Логически это можно выразить как

${ Displaystyle vdash phi rightarrow psi over phi vdash psi}$

так что нарезка ${ displaystyle mathbf {E}}$ продолжением ${ displaystyle phi}$ соответствует предположению ${ displaystyle phi}$ как гипотеза. Тогда в теореме говорится, что логическое предположение не меняет правил топослогики.

Рекомендации

• Колин Макларти, Элементарные категории, элементарные топы, Oxford University Press (1995), стр. 158