Обобщенный продукт Уайтхеда - Generalised Whitehead product
В Продукт от белых угрей математическая конструкция, введенная в Уайтхед (1941). Это был полезный инструмент для определения свойств пространств. Математическое понятие пространства включает в себя все формы, существующие в нашем трехмерном мире, такие как кривые, поверхности и твердые фигуры. Поскольку пространства часто представлены формулами, обычно невозможно визуально определить их геометрические свойства. Некоторыми из этих свойств являются связность (это пространство в одной или нескольких частях), количество отверстий в пространстве, узловатость пространства и так далее. Затем пространства изучаются путем присвоения им алгебраических конструкций. Это похоже на то, что делают в старшей школе. аналитическая геометрия при этом некоторым кривым на плоскости (геометрическим объектам) приписываются уравнения (алгебраические конструкции). Наиболее распространены алгебраические конструкции: группы. Это такие наборы, что любые два члена набора могут быть объединены для получения третьего члена набора (с учетом определенных ограничений). В теория гомотопии, каждому пространству X и положительному целому числу p назначается группа, называемая p-й гомотопическая группа группы X. Эти группы были тщательно изучены и дают информацию о свойствах пространства X. Затем существуют операции между этими группами (произведение Уайтхеда), которые предоставляют дополнительную информацию о пространствах. Это было очень важно при изучении гомотопических групп.
Некоторые обобщения продукта Уайтхеда представлены в (Блейкерс, Мэсси и (1953) ) и в других местах, но самый далеко идущий из них касается гомотопических множеств, то есть гомотопических классов отображений из одного пространства в другое. Обобщенное произведение Уайтхеда сопоставляет элементу α в гомотопическом множестве [ΣA, X] и элементу β в гомотопическом множестве [ΣB, X], элемент [α, β] в гомотопическом множестве [Σ (A ∧ B) , X], где A, B и X - пространства, Σ - подвеска (топология), а ∧ - разбить продукт. Это было введено Коэн (1957) и Хилтон (1965) и позже подробно изучен Арковиц (1962), (смотрите также Бауэс (1989), п. 157). Это обобщение произведения Уайтхеда и предоставляет полезную технику для исследования гомотопических множеств.
Подходящий МСК код: 55Q15, Продукты Уайтхеда и обобщения.
Определение
Позволять и и рассмотреть элементы и , куда и - гомотопические классы проекционных отображений. Коммутатор
![{ Displaystyle альфа в [ Sigma A, X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d684d1cca5cbed314ff3cae8da8868be9e8a8150)
![{ Displaystyle бета в [ Sigma B, X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560bf77807fcc566efc4123c8481a6e09fbd0e90)
![{ Displaystyle бета ( Sigma pi _ {B}) в [ Sigma (A times B), X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7467687704a7d68af09ed9207a5788b8f745adea)
в группе тривиально, когда ограничивается , куда обозначает сумма клина. В обобщенный продукт Уайтхеда затем определяется как уникальный элемент
![{ displaystyle [ Sigma (A times B), X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ba84f1afabbf4046d0d1a5afa56c16f5cb731b)
![{ displaystyle [ Sigma (A vee B), X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ba3d5a3ec93c72852ed354936d344b592bcb30)
![{ Displaystyle [ альфа, бета] в [ Sigma (A клин B), X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca499cb2ff8794554800cb84485ed1ef5e32b94b)
такой, что , куда - факторное отображение.
![{ Displaystyle [ альфа, бета] ( Sigma q) = с ( альфа, бета)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af1e8336af93af3c98baa4daace13c8077d8632)
Характеристики
Натуральность: f∗[α, β] = [f∗(α), f∗(β)], если f: X → Y - отображение.
Все [α, β] = 0, если X - H-пространство.
E [α, β] = 0, где E: [Σ (A ∧ B), X] → [Σ2 (A ∧ B), ΣX] - гомоморфизм надстройки.
Биаддитивность, если А и В - суспензии.
Форма антикоммутативности.
Подходящее тождество Якоби для α и β, как указано выше, и γ ∈ [ΣC, X], если A, B и C являются суспензиями.
Видеть Арковиц (1962) для полной формулировки этих результатов и доказательств.
Приложения
Произведение ΣA × ΣB имеет гомотопический тип картографический конус из [ιΣA, ιΣB] ∈ [Σ (A ∧ B), ΣA ∨ ΣB] (Арковиц (1962) ).
Произведения Уайтхеда для гомотопических групп с коэффициентами получаются, если взять A и B как пространства Мура (Хилтон (1965), стр. 110–114).
Согласно теореме Милнора-Хилтона, существует слабая гомотопическая эквивалентность между клином надстроек бесконечного числа пространств и бесконечным произведением надстроек различных произведений разбивания пространств. Карта определяется обобщенными произведениями Уайтхеда (Бауэс, Кинтеро и (2001) ).
Связанные результаты
Если Y групповое H-пространство, то произведение [A, Y] × [B, Y] → [A ∧ B, Y] определяется по аналогии с обобщенным произведением Уайтхеда. Это обобщенное произведение Самельсона, обозначенное <σ, τ> для σ ∈ [A, Y] и τ ∈ [B, Y] (Арковиц 1963 ). Если λU, V : [U, ΩV] → [ΣU, V] - присоединенный изоморфизм, где Ω - пространство петли функтор, то λA∧B, X<σ, τ> = [λА, Х (σ), λВ, Х (τ)] для Y = ΩX.
An Двойственный Экман-Хилтон обобщенного произведения Уайтхеда можно определить следующим образом. Пусть A ♭ B - гомотопический слой включения j: A ∨ B → A × B, то есть пространство путей в A × B, которые начинаются в A ∨ B и заканчиваются в базовой точке, и пусть γ ∈ [X , ΩA] и δ ∈ [X, ΩB]. Для (ΩιА) γ и (ΩιB) δ в [X, Ω (A ∨ B)], пусть d (γ, δ) ∈ [X, Ω (A ∨ B)] - их коммутатор. Поскольку (Ωj) d (γ, δ) тривиально, существует единственный элемент {γ, δ} ∈ [X, Ω (A ♭ B)] такой, что (Ωp) {γ, δ} = d (γ, δ ), где p: A ♭ B → A ∨ B проецирует путь на свою начальную точку. Для этого пусть K (π, n) обозначает Пространство Эйленберга – Маклейна и отождествим [X, K (π, n)] с группой когомологий Hп(X; π). Если A = K (G, p) и B = K (G ′, q), то существует отображение θ: A ♭ B → K (G ⊗ G ', p + q + 1) такое, что (Ωθ) { γ, δ} = γ ∪ δ, чашечное произведение в Hр + д(X; G ⊗ G ′). Подробнее см. ((Арковиц 1962 ), стр. 19–22) и (Арковиц 1964 ).
Рекомендации
- Арковиц, М. (1962), "Обобщенное произведение Уайтхеда", Pacific J. Math., 12: 7–23, Дои:10.2140 / pjm.1962.12.7.
- Арковиц, М. (1963), "Гомотопические произведения для H-пространств", Michigan Math. Дж., 10: 1–9, Дои:10,1307 / ммдж / 1028998818, МИСТЕР 0148066, Zbl 0118.18405.
- Арковиц, М. (1964), «Коммутаторы и чашечные изделия», Иллинойс J. Math., 8 (4): 571–581, Дои:10.1215 / ijm / 1256059455, МИСТЕР 0167979, Zbl 0124.16203.
- Бауэс, HJ. (1989), Алгебраическая гомотопия, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-33376-4.
- Baues, HJ .; Кинтеро, А. (2001), Теория бесконечной гомотопии, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-7923-6982-0.
- Blakers, A .; Massey, W. (1953), "Продукты в теории гомотопий", Анна. математики., 2, 5 (2): 409–428, Дои:10.2307/1969744, JSTOR 1969790.
- Коэн Д. Э. (1957), "Теория продуктов и носителей", Proc. Лондонская математика. Soc., 7: 295–324.
- Хилтон, П.Дж. (1965), Теория гомотопии и двойственность, Нью-Йорк-Лондон-Париж: издательство Gordon and Breach Science, OCLC 911699333.
- Уайтхед, Дж. Х. С. (1941), «О добавлении отношений к гомотопическим группам», Анна. математики., 2, 42 (2): 409–428, Дои:10.2307/1968907, JSTOR 1968907.