Продукт Уайтхеда - Википедия - Whitehead product

В математике Продукт от белых угрей это оцененный квазиалгебра Ли структура на гомотопические группы пространства. Это было определено Дж. Х. К. Уайтхед в (Уайтхед 1941 ).

Подходящий МСК код: 55Q15, Продукты Уайтхеда и обобщения.

Определение

Данные элементы ${ displaystyle f in pi _ {k} (X), g in pi _ {l} (X)}$, то Кронштейн Уайтхеда

${ Displaystyle [е, г] в пи _ {к + l-1} (Х) ,}$

определяется следующим образом:

Продукт ${ displaystyle S ^ {k} times S ^ {l}}$ можно получить, прикрепив ${ Displaystyle (к + л)}$-ячейка в сумма клина

${ Displaystyle S ^ {k} vee S ^ {l}}$;

в прикрепление карты это карта

${ displaystyle S ^ {k + l-1} { stackrel { phi} { longrightarrow }} S ^ {k} vee S ^ {l}.}$

Представлять ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ по картам

${ displaystyle f двоеточие S ^ {k} to X}$

и

${ displaystyle g двоеточие S ^ {l} to X,}$

затем составьте их клин с прикрепленной картой, как

${ Displaystyle S ^ {к + l-1} { stackrel { phi} { longrightarrow }} S ^ {k} vee S ^ {l} { stackrel {f vee g} { longrightarrow }} X.}$

В гомотопический класс результирующей карты не зависит от выбора представителей, и, таким образом, мы получаем четко определенный элемент

${ displaystyle pi _ {k + l-1} (X).}$

Оценка

Обратите внимание, что в оценке есть сдвиг на 1 (по сравнению с индексированием гомотопические группы ), так ${ displaystyle pi _ {k} (X)}$ имеет степень ${ Displaystyle (к-1)}$; эквивалентно, ${ Displaystyle L_ {к} = пи _ {к + 1} (Х)}$ (параметр L быть градуированной квазиалгеброй Ли). Таким образом ${ Displaystyle L_ {0} = pi _ {1} (X)}$ действует на каждый оцениваемый компонент.

Характеристики

Продукт Whitehead обладает следующими свойствами:

• Билинейность. ${ Displaystyle [е, g + h] = [е, g] + [f, h], [f + g, h] = [f, h] + [g, h]}$
• Градуированная симметрия. ${ displaystyle [е, g] = (- 1) ^ {pq} [g, f], f in pi _ {p} X, g in pi _ {q} X, p, q geq 2}$
• Градуированная идентичность Якоби. ${ displaystyle (-1) ^ {pr} [[f, g], h] + (- 1) ^ {pq} [[g, h], f] + (- 1) ^ {rq} [[h , f], g] = 0, f in pi _ {p} X, g in pi _ {q} X, h in pi _ {r} X { text {with}} p, q, r geq 2}$

Иногда гомотопические группы пространства вместе с операцией произведения Уайтхеда называют оцененный квазиалгебра Ли; это доказано в Уэхара и Мэсси (1957) через Тройное произведение Масси.

Отношение к действию ${ displaystyle pi _ {1}}$

Если ${ displaystyle f in pi _ {1} (X)}$, то скобка Уайтхеда связана с обычным действием ${ displaystyle pi _ {1}}$ на ${ displaystyle pi _ {k}}$ к

${ displaystyle [f, g] = g ^ {f} -g,}$

куда ${ displaystyle g ^ {f}}$ обозначает спряжение из ${ displaystyle g}$ к ${ displaystyle f}$.

За ${ displaystyle k = 1}$, это сводится к

${ displaystyle [f, g] = fgf ^ {- 1} g ^ {- 1},}$

что является обычным коммутатор в ${ displaystyle pi _ {1} (X)}$Это также можно увидеть, заметив, что ${ displaystyle 2}$-ячейка тора ${ Displaystyle S ^ {1} раз S ^ {1}}$прикреплен вдоль коммутатора в ${ displaystyle 1}$-скелет ${ Displaystyle S ^ {1} vee S ^ {1}}$.

Произведения Уайтхеда на H-пространстве

Для связанного пути H-пространство, все продукты Whitehead на ${ displaystyle pi _ {*} (X)}$ В предыдущем пункте это обобщение как того факта, что фундаментальная группа H-пространств абелева, так и того факта, что H-пространства являются абелевыми. просто.

Приостановка

Все продукты классов Уайтхеда ${ Displaystyle альфа в пи _ {я} (Х)}$, ${ displaystyle beta in pi _ {j} (X)}$лежат в основе приостановка гомоморфизм ${ Displaystyle Sigma двоеточие pi _ {я + j-1} (X) to pi _ {i + j} ( Sigma X)}$

Примеры

• ${ displaystyle [ mathrm {id} _ {S ^ {2}}, mathrm {id} _ {S ^ {2}}] = 2 cdot eta in pi _ {3} (S ^ { 2})}$, куда ${ displaystyle eta двоеточие S ^ {3} to S ^ {2}}$ это Карта Хопфа.

Это можно показать, заметив, что Инвариант Хопфа определяет изоморфизм ${ Displaystyle pi _ {3} (S ^ {2}) cong mathbb {Z}}$и явно вычисляя кольцо когомологий кофибра отображения, представляющего ${ displaystyle [ mathrm {id} _ {S ^ {2}}, mathrm {id} _ {S ^ {2}}]}$.

Приложения к ∞-группоидам

Напомним, что ∞-группоид ${ Displaystyle Pi (X)}$ является ${ displaystyle infty}$-категория обобщение группоиды который, как предполагается, кодирует данные гомотопический тип из ${ displaystyle X}$ в алгебраическом формализме. Объекты - это точки в пространстве ${ displaystyle X}$, морфизмы - это гомотопические классы путей между точками, а высшие морфизмы - высшие гомотопии этих точек.

Существование продукта Уайтхеда - основная причина, по которой определение понятия ∞-группоиды такая сложная задача. Было показано, что любой строгий ∞-группоид^[1] имеет только тривиальные произведения Уайтхеда, поэтому строгие группоиды никогда не могут моделировать гомотопические типы сфер, такие как ${ Displaystyle S ^ {3}}$.^[2]

Смотрите также

• Обобщенный продукт Уайтхеда
• Продукция Massey
• Скобка Тоды

Рекомендации

• Уайтхед, Дж. Х. С. (Апрель 1941 г.), «О добавлении отношений к гомотопическим группам», Анналы математики, 2, 42 (2): 409–428, Дои:10.2307/1968907, JSTOR  1968907
• Уэхара, Хироши; Мэсси, Уильям С. (1957), «Идентичность Якоби для продуктов Уайтхеда», Алгебраическая геометрия и топология. Симпозиум в честь С. Лефшеца., Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 361–377, МИСТЕР  0091473
• Уайтхед, Джордж У. (Июль 1946 г.), «О произведениях в гомотопических группах», Анналы математики, 2, 47 (3): 460–475, Дои:10.2307/1969085, JSTOR  1969085
• Уайтхед, Джордж У. (1978). «X.7 Продукт Уайтхеда». Элементы теории гомотопии. Springer-Verlag. С. 472–487. ISBN  978-0387903361.