Состав без сетки с обобщенной деформацией - Generalized-strain mesh-free formulation

В генерализованная деформация без сетки (GSMF) формулировка является локальным бессеточным методом в области числовой анализ, полностью свободная от интеграции, работающая как словосочетание взвешенно-остаточной слабой формы. Этот метод был впервые представлен Oliveira и Portela (2016),^[1] с целью дальнейшего повышения вычислительной эффективности бессеточные методы в численном анализе. Локальные бессеточные методы выводятся с помощью формулировки взвешенной невязки, которая приводит к локальной слабой форме, которая является хорошо известной рабочая теорема теории конструкций. В произвольной локальной области рабочая теорема устанавливает энергетическое соотношение между статически допустимым полем напряжений и независимым кинематически допустимым полем деформаций. Основываясь на независимости этих двух полей, эта формулировка приводит к локальной форме рабочей теоремы, которая сводится только к регулярным граничным членам, без интегрирования и без объемный замок.

Преимущества перед методы конечных элементов заключаются в том, что GSMF не полагается на сетку и более точен и быстрее решает двумерные задачи. По сравнению с другими бессеточными методами, такими как смещение твердого тела без сетки (RBDMF) формулировка безэлементный Галёркин (EFG)^[2] и бессеточный местный Петров-Галеркин метод конечных объемов (MLPG FVM);^[3] GSMF оказался лучше не только по вычислительной эффективности, но и по точности.^[4]

В перемещение наименьших квадратов (MLS) приближение упругого поля используется в этой локальной бессеточной постановке.

Формулировка

В локальной форме теоремы о работе уравнение:

{ displaystyle int _ { Gamma _ {Q}} mathbf {t} ^ {T} mathbf {u} ^ {*} d Gamma + int _ { Omega _ {Q}} mathbf { b} ^ {T} mathbf {u} ^ {*} d Omega = int _ { Omega _ {Q}} { boldsymbol { sigma}} ^ {T} { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*} d Omega.}

Поле смещения ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ , предполагалась как непрерывная функция, приводящая к регулярной интегрируемой функции, которая является кинематически допустимым полем деформаций ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*}}$ . Однако это предположение о непрерывности ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ , применяемый в локальной форме рабочей теоремы, не является абсолютно необходимым, но может быть ослаблен для удобства при условии ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*}}$ может быть полезен как обобщенная функция в смысле теории распределений, см. Гельфанд и Шилов.^[5] Следовательно, в этой формулировке считается, что поле смещения ${ displaystyle mathbf {u} ^ {*}}$ , является кусочно-непрерывной функцией, определяемой в терминах ступенчатой функции Хевисайда и, следовательно, соответствующего поля деформации ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*}}$ , является обобщенной функцией, определенной в терминах Дельта-функция Дирака.

Для простоты, имея дело с дельта-функциями Хевисайда и Дирака в двумерном координатном пространстве, рассмотрим скалярную функцию ${ displaystyle d}$ , определяется как:

{ displaystyle d = lVert mathbf {x} - mathbf {x} _ {Q} rVert}

который представляет собой функцию абсолютного значения расстояния между полевой точкой ${ displaystyle mathbf {x}}$ и конкретный ориентир ${ displaystyle mathbf {x} _ {Q}}$ , в локальном домене ${ displaystyle Omega _ {Q} cup Gamma _ {Q}}$ назначен полевому узлу ${ displaystyle Q}$ . Следовательно, это определение всегда предполагает ${ displaystyle d = d ( mathbf {x}, mathbf {x} _ {Q}) geq 0}$ , как положительное или нулевое значение, в этом случае всякий раз, когда ${ displaystyle mathbf {x}}$ и ${ displaystyle mathbf {x} _ {Q}}$ являются совпадающими точками.

Для скалярной координаты ${ displaystyle d supset d ( mathbf {x}, mathbf {x} _ {Q})}$ , то Ступенчатая функция Хевисайда можно определить как

{ Displaystyle H (d) = 1 , , , , , , если , , , , , d Leq 0 , , , , , , (d = 0 , , , для , , , mathbf {x} Equiv mathbf {x} _ {Q})}

{ Displaystyle H (d) = 0 , , , , , , если , , , , , d> 0 , , , , , , ( mathbf {х} neq mathbf {x} _ {Q})}

в котором разрыв предполагается при ${ displaystyle mathbf {x} _ {Q}}$ и, следовательно, Дельта-функция Дирака определяется со следующими свойствами

{ Displaystyle дельта (d) = H '(d) = infty , , , , , , если , , , , , d = 0 , , , что , , равно , , , mathbf {x} Equiv mathbf {x} _ {Q}}

{ Displaystyle дельта (d) = H '(d) = 0 , , , , , , если , , , , , d neq 0 , , , ( d> 0 , , , для , , , mathbf {x} neq mathbf {x} _ {Q})}

и

{ displaystyle int limits _ {- infty} ^ {+ infty} delta (d) , dd = 1}

в котором ${ displaystyle H '(d)}$ представляет производная по распределению из ${ Displaystyle H (d)}$ . Обратите внимание, что производная от ${ Displaystyle H (d)}$ , по координате ${ displaystyle x_ {i}}$ , можно определить как

{ Displaystyle H (d) _ {, я} = H '(d) , , d _ {, i} = delta (d) , , d _ {, i} = delta (d) , , n_ {i}}

Поскольку на результат этого уравнения не влияет какое-либо конкретное значение постоянной ${ displaystyle n_ {i}}$ , эта константа будет удобно переопределена позже.

Считают, что ${ displaystyle d_ {l}}$ , ${ displaystyle d_ {j}}$ и ${ displaystyle d_ {k}}$ представляют функцию расстояния ${ displaystyle d}$ , для соответствующих точек коллокации ${ displaystyle mathbf {x} _ {l}}$ , ${ displaystyle mathbf {x} _ {j}}$ и ${ displaystyle mathbf {x} _ {k}}$ . Поле смещения ${ Displaystyle mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x})}$ , можно удобно определить как

{ displaystyle mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x}) = { Bigg [} { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} , sum _ {l = 1 } ^ {n_ {i}} H (d_ {l}) + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} , sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} H (d_ {j}) + { frac {S} {n _ { Omega}}} , sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} H (d_ {k}) { Bigg] } mathbf {e}}

в котором ${ Displaystyle mathbf {е} = [1 , , , , 1] ^ {T}}$ представляет собой метрику ортогональных направлений и ${ displaystyle n_ {i}}$ , ${ displaystyle n_ {t}}$ и ${ displaystyle n _ { Omega}}$ представляют количество точек коллокации, соответственно, на локальной внутренней границе ${ Displaystyle Gamma _ {Qi} = Gamma _ {Q} - Gamma _ {Qt} - Gamma _ {Qu}}$ с длиной ${ displaystyle L_ {i}}$ , на локальной статической границе ${ displaystyle Gamma _ {Qt}}$ с длиной ${ displaystyle L_ {t}}$ и в локальном домене ${ displaystyle Omega _ {Q}}$ с площадью ${ displaystyle S}$ . Это предполагаемое поле смещения ${ Displaystyle mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x})}$ , дискретное смещение твердотельной единицы, определенное в точках коллокации. Поле деформации ${ Displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*} ( mathbf {x})}$ , дан кем-то

{ Displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} ^ {*} ( mathbf {x}) = mathbf {L} , mathbf {u} ^ {*} ( mathbf {x}) = { Bigg [} { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} , sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} mathbf {L} , H (d_ {l}) + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} , sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} mathbf {L} , H (d_ {j}) + { frac {S} {n _ { Omega}}} , sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} mathbf {L} , H (d_ {k}) { Bigg]} mathbf {e} = { Bigg [} { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} , sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , delta (d_ { l}) , mathbf {n} ^ {T} , + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} , sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , delta (d_ {j}) , mathbf {n} ^ {T} , + { frac {S} {n _ { Omega}}} , sum _ {k = 1} ^ { n _ { Omega}} , delta (d_ {k}) , mathbf {n} ^ {T} { Bigg]} mathbf {e}}

Определив компоненты смещения и деформации кинематически допустимого поля, теорему о локальной работе можно записать в виде

{ displaystyle { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , int limits _ { Gamma _ {Q} - Гамма _ {Qt}} ! ! ! ! ! ! Mathbf {t} ^ {T} H (d_ {l}) mathbf {e} , d Gamma + { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , int limits _ { Gamma _ {Qt}} ! { overline { mathbf { t}}} ^ {T} H (d_ {j}) mathbf {e} , d Gamma + { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ { n _ { Omega}} , int limits _ { Omega _ {Q}} mathbf {b} ^ {T} H (d_ {k}) mathbf {e} , d Omega = { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} , int limits _ { Omega _ {Q}} { boldsymbol { sigma} } ^ {T} delta (d_ {k}) , mathbf {n} ^ {T} mathbf {e} , d Omega.}

Принимая во внимание свойства Ступенчатая функция Хевисайда и Дельта-функция Дирака, это уравнение просто приводит к

{ displaystyle { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , mathbf {t} _ { mathbf {x} _ { l}} = - , { frac {L_ {t}} {n_ {t}}} sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , { overline { mathbf {t}} } _ { mathbf {x} _ {j}} - , { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} , mathbf {b} _ { mathbf {x} _ {k}}}

Дискретность этого уравнения может быть проведена с помощью приближения MLS для локальной области ${ displaystyle Omega _ {Q}}$ , в терминах узловых неизвестных ${ displaystyle { hat { mathbf {u}}}}$ , что приводит к системе линейных алгебраических уравнений, которую можно записать как

{ displaystyle { frac {L_ {i}} {n_ {i}}} sum _ {l = 1} ^ {n_ {i}} , mathbf {n} _ { mathbf {x} _ { l}} mathbf {D} mathbf {B} _ { mathbf {x} _ {l}} { hat { mathbf {u}}} = - , { frac {L_ {t}} { n_ {t}}} sum _ {j = 1} ^ {n_ {t}} , { overline { mathbf {t}}} _ { mathbf {x} _ {j}} - , { frac {S} {n _ { Omega}}} sum _ {k = 1} ^ {n _ { Omega}} , mathbf {b} _ { mathbf {x} _ {k}}}

или просто

{ displaystyle mathbf {K} _ {Q} , { hat { mathbf {u}}} = mathbf {F} _ {Q}}

Эта формулировка утверждает равновесие тяги и объемных сил, поточечно определенное в точках коллокации, очевидно, это поточечный вариант Принцип напряжений Эйлера-Коши. Это уравнение используется в Состав без сетки с обобщенными деформациями (GSMF) который, следовательно, свободен от интеграции. Поскольку рабочая теорема является слабой формой с взвешенным остатком, легко увидеть, что эта формулировка без интегрирования является не чем иным, как коллокацией слабой формы с взвешенным остатком. Коллокация взвешенной остаточной слабой формы легко преодолевает хорошо известные трудности, создаваемые коллокацией взвешенной остаточной сильной формы,^[6] относительно точности и стабильности решения.

Состав без сетки с обобщенной деформацией - Generalized-strain mesh-free formulation

Формулировка

Смотрите также

Рекомендации