Обобщенный индекс энтропии - Generalized entropy index

Неравенство в Южной Африке: обобщенная мера энтропии

В обобщенный индекс энтропии был предложен в качестве меры Дифференциация доходов в популяции.^[1] Это получено из теория информации в качестве меры избыточность в данных. В теория информации мера избыточность можно интерпретировать как неслучайность или Сжатие данных; таким образом, эта интерпретация также применима к этому индексу. В дополнительной интерпретации индекс выглядит как биоразнообразие поскольку энтропия также была предложена как мера разнообразия.^[2]

Формула

Формула для общей энтропии для реальных значений ${ displaystyle alpha}$ является:

{ Displaystyle GE ( альфа) = { begin {case} { frac {1} {N alpha ( alpha -1)}} sum _ {i = 1} ^ {N} left [ left ({ frac {y_ {i}} { overline {y}}} right) ^ { alpha} -1 right], & alpha neq 0,1, { frac {1} { N}} sum _ {i = 1} ^ {N} { frac {y_ {i}} { overline {y}}} ln { frac {y_ {i}} { overline {y}} }, & alpha = 1, - { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} ln { frac {y_ {i}} { overline {y} }}, & alpha = 0. end {case}}}

где N - количество случаев (например, домохозяйств или семей), ${ displaystyle y_ {i}}$ доход для случая i и ${ displaystyle alpha}$ - параметр, который регулирует вес, придаваемый расстоянию между доходами в различных частях распределения доходов. Для больших ${ displaystyle alpha}$ индекс особенно чувствителен к существованию больших доходов, тогда как для малых ${ displaystyle alpha}$ индекс особенно чувствителен к наличию небольших доходов.

An Индекс Аткинсона для любого параметра неприятия неравенства может быть получен из обобщенного индекса энтропии при ограничении, что ${ Displaystyle epsilon = 1- альфа}$ - то есть индекс Аткинсона с высоким уровнем неприятия неравенства выводится из индекса GE с небольшим ${ displaystyle alpha}$ . Более того, это единственный класс мер неравенства, который является монотонным преобразованием Индекс Аткинсона и который является аддитивно разложимым. Многие популярные индексы, в том числе Индекс Джини, не удовлетворяют аддитивной разложимости.^[1]

Формула для получения индекса Аткинсона с параметром неприятия неравенства ${ displaystyle epsilon}$ под ограничением ${ Displaystyle epsilon = 1- альфа}$ дан кем-то:

${ displaystyle A = [ epsilon ( epsilon -1) GE] ^ {(1 / (1- epsilon))} qquad epsilon neq 1}$

${ Displaystyle А = 1-е ^ {- GE} qquad epsilon = 1}$

Обратите внимание, что обобщенный индекс энтропии имеет несколько показатели неравенства доходов как особые случаи. Например, GE (0) - это среднее отклонение журнала, GE (1) - Индекс Тейла, а GE (2) - половина квадрата коэффициент вариации.

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б Шоррокс, А. Ф. (1980). «Класс аддитивно разложимых мер неравенства». Econometrica. 48 (3): 613–625. Дои:10.2307/1913126. JSTOR 1913126.
^ Pielou, E.C. (декабрь 1966 г.). «Измерение разнообразия в различных типах биологических коллекций». Журнал теоретической биологии. 13: 131–144. Дои:10.1016/0022-5193(66)90013-0.

[shorrocks_class_1980-1] а ^б Шоррокс, А. Ф. (1980). «Класс аддитивно разложимых мер неравенства». Econometrica. 48 (3): 613–625. Дои:10.2307/1913126. JSTOR 1913126.

[2] Pielou, E.C. (декабрь 1966 г.). «Измерение разнообразия в различных типах биологических коллекций». Журнал теоретической биологии. 13: 131–144. Дои:10.1016/0022-5193(66)90013-0.

[1]

[2]