Обобщенные инверсивные конгруэнтные псевдослучайные числа - Википедия - Generalized inversive congruential pseudorandom numbers

Подход к нелинейным конгруэнтным методам генерация равномерных псевдослучайных чисел в интервале [0,1) - Инверсивный конгруэнтный генератор с простым модулем. Обобщение для произвольных составных модулей ${ displaystyle m = p_ {1}, dots p_ {r}}$ с произвольно четкими простые числа ${ displaystyle p_ {1}, dots, p_ {r} geq 5}$ здесь будет присутствовать.

Позволять ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {м} = {0,1, ..., м-1 }}$ . За целые числа ${ displaystyle a, b in mathbb {Z} _ {m}}$ с НОД (a, m) = 1 обобщенная обратная конгруэнтная последовательность ${ Displaystyle (у_ {п}) _ {п geqslant 0}}$ элементов ${ displaystyle mathbb {Z} _ {m}}$ определяется

{ displaystyle y_ {0} = { rm {seed}}}

{ displaystyle y_ {n + 1} Equiv ay_ {n} ^ { varphi (m) -1} + b { pmod {m}} { text {,}} n geqslant 0}

куда ${ Displaystyle varphi (м) = (р_ {1} -1) точки (р_ {г} -1)}$ обозначает количество натуральных чисел меньше, чем м которые относительно простой к м.

Пример

Возьмем m = 15 = ${ displaystyle 3 times 5 , a = 2, b = 3}$ и ${ displaystyle y_ {0} = 1}$ . Следовательно ${ Displaystyle varphi (м) = 2 раз 4 = 8 ,}$ и последовательность ${ displaystyle (y_ {n}) _ {n geqslant 0} = (1,5,13,2,4,7,1, точки)}$ не максимум.

Приведенный ниже результат показывает, что эти последовательности тесно связаны со следующей обратимой конгруэнтной последовательностью с простыми модулями.

За ${ Displaystyle 1 Leq я Leq г}$ позволять ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p_ {i}} = {0,1, dots, p_ {i} -1 }, m_ {i} = m / p_ {i}}$ и ${ displaystyle a_ {i}, b_ {i} in mathbb {Z} _ {p_ {i}}}$ быть целыми числами с

{ Displaystyle а эквив м_ {я} ^ {2} а_ {я} { pmod {р_ {я}}} ; { текст {и}} ; б эквив м_ {я} b_ {я} { pmod {p_ {i}}} { text {. }}}

Позволять ${ Displaystyle (у_ {п}) _ {п geqslant 0}}$ быть последовательностью элементов ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p_ {i}}}$ , данный

{ Displaystyle у_ {п + 1} ^ {(я)} экв а_ {я} (у_ {п} ^ {(я)}) ^ {р_ {я} -2} + b_ {я} { pmod {p_ {i}}} ; { text {,}} n geqslant 0 ; { text {where}} ; y_ {0} Equiv m_ {i} (y_ {0} ^ {(i )}) { pmod {p_ {i}}} ; { text {предполагается. }}}

Теорема 1.

Позволять ${ Displaystyle (у_ {п} ^ {(я)}) _ {п geqslant 0}}$ за ${ Displaystyle 1 Leq я Leq г}$ быть определенным, как указано выше.

{ displaystyle y_ {n} Equiv m_ {1} y_ {n} ^ {(1)} + m_ {2} y_ {n} ^ {(2)} + dots + m_ {r} y_ {n} ^ {(r)} { pmod {m}}.}

Эта теорема показывает, что возможна реализация обобщенного инверсивного конгруэнтного генератора, в котором точные целочисленные вычисления должны выполняться только в ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p_ {1}}, dots, mathbb {Z} _ {p_ {r}}}$ но не в ${ displaystyle mathbb {Z} _ {m}.}$

Доказательство:

Во-первых, заметьте, что ${ displaystyle m_ {i} Equiv 0 { pmod {p_ {j}}}, ; { text {for}} ; i neq j,}$ и поэтому ${ displaystyle y_ {n} Equiv m_ {1} y_ {n} ^ {(1)} + m_ {2} y_ {n} ^ {(2)} + dots + m_ {r} y_ {n} ^ {(г)} { pmod {m}}}$ если и только если ${ Displaystyle у_ {п} эквив м_ {я} (у_ {п} ^ {(я)}) { pmod {р_ {я}}}}$ , за ${ Displaystyle 1 Leq я Leq г}$ которое будет показано при индукции по ${ Displaystyle п geqslant 0}$ .

Напомним, что ${ Displaystyle у_ {0} эквив м_ {я} (у_ {0} ^ {(я)}) { pmod {р_ {я}}}}$ предполагается для ${ Displaystyle 1 Leq я Leq г}$ . Теперь предположим, что ${ Displaystyle 1 Leq я Leq г}$ и ${ Displaystyle у_ {п} эквив м_ {я} (у_ {п} ^ {(я)}) { pmod {р_ {я}}}}$ для некоторого целого числа ${ Displaystyle п geqslant 0}$ . Тогда несложные вычисления и Теорема Ферма урожай

{ Displaystyle у_ {п + 1} эквив ау_ {п} ^ { varphi (м) -1} + б эквив м_ {я} (а_ {я} м_ {я} ^ { varphi (м)} (y_ {n} ^ {(i)}) ^ { varphi (m) -1} + b_ {i}) Equiv m_ {i} (a_ {i} (y_ {n} ^ {(i)} ) ^ {p_ {i} -2} + b_ {i}) Equiv m_ {i} (y_ {n + 1} ^ {(i)}) { pmod {p_ {i}}}}

,

что подразумевает желаемый результат.

Обобщенные инверсивные конгруэнтные псевдослучайные числа хорошо равномерно распределены в одном измерении. Надежный теоретический подход к оценке их свойств статистической независимости основан на несовпадении s-наборы псевдослучайных чисел.

Границы несоответствия генератора GIC

Мы используем обозначения ${ displaystyle D_ {m} ^ {s} = D_ {m} (x_ {0}, dots, x_ {m} -1)}$ куда ${ displaystyle x_ {n} = (x_ {n}, x_ {n} +1, dots, x_ {n} + s-1)}$ $\in$ ${ displaystyle [0,1) ^ {s}}$ обобщенных инверсивных конгруэнтных псевдослучайных чисел для ${ displaystyle s geq 2}$ .

Верхняя граница

Позволять

{ displaystyle s geq 2}

Тогда несоответствие

{ displaystyle D_ {m} ^ {s}}

удовлетворяет

{ displaystyle D_ {m}}

{ displaystyle ^ {s}}

<

{ displaystyle m ^ {- 1/2}}

\times

{ displaystyle ({ frac {2} { pi}}}

\times

{ Displaystyle журнал м + { гидроразрыва {7} {5}}) ^ {s}}

\times

{ displaystyle textstyle prod _ {я = 1} ^ {r} (2s-2 + s (p_ {i}) ^ {- 1/2}) + s_ {m} ^ {- 1}}

для любого обобщенного инверсивного конгруэнтного оператора.

Нижняя граница:

Существуют обобщенные инверсивные конгруэнтные генераторы с

{ displaystyle D_ {m}}

{ displaystyle ^ {s}}

\geq

{ displaystyle { frac {1} {2 ( pi +2)}}}

\times

{ displaystyle m ^ {- 1/2}}

:

\times

{ displaystyle textstyle prod _ {я = 1} ^ {r} ({ гидроразрыва {p_ {i} -3} {p_ {i} -1}}) ^ {1/2}}

для всех измерений s

:\geq

2.

На фиксированный номер р основных факторов м, Теорема 2 показывает, что ${ Displaystyle D_ {m} ^ {(s)} = O (m ^ {- 1/2} ( log m) ^ {s})}$ для любой обобщенной инверсивной конгруэнтной последовательности. В этом случае из теоремы 3 следует, что существуют обобщенные инверсивные конгруэнтные генераторы, имеющие невязку ${ displaystyle D_ {m} ^ {(s)}}$ что по крайней мере на порядок ${ displaystyle m ^ {- 1/2}}$ для всех измерений ${ displaystyle s geq 2}$ . Однако если м состоит только из маленьких простых чисел, то р может быть на порядок ${ Displaystyle ( журнал м) / журнал журнал м}$ и поэтому ${ displaystyle textstyle prod _ {я = 1} ^ {r} (2s-2 + s (p_ {i}) ^ {- 1/2}) = O {(m ^ { epsilon})}}$ для каждого ${ displaystyle epsilon> 0}$ .^[1] Следовательно, в общем случае получаем ${ Displaystyle D_ {m} ^ {s} = O (m ^ {- 1/2 + epsilon})}$ для каждого ${ displaystyle epsilon> 0}$ .

С ${ displaystyle textstyle prod _ {i = 1} ^ {r} ((p_ {i} -3) / (p_ {i} -1)) ^ {1/2} geqslant 2 ^ {- r / 2}}$ , из аналогичных рассуждений следует, что в общем случае оценка снизу в теореме 3 не менее чем по порядку величины ${ displaystyle m ^ {- 1 / 2- epsilon}}$ для каждого ${ displaystyle epsilon> 0}$ . Именно в этом диапазоне величин обнаруживается несовпадение m независимых и равномерно распределенных случайных точек, которое почти всегда имеет порядок величины ${ Displaystyle м ^ {- 1/2} ( журнал журнал м) ^ {1/2}}$ по закону повторного логарифма невязок.^[2] В этом смысле обобщенные инверсивные конгруэнтные псевдослучайные числа очень точно моделируют истинные случайные числа.

Смотрите также

Примечания

Эйхенауэр-Херрманн, Юрген (1994), Об обобщенных инверсивных конгруэнтных псевдослучайных числах (первое издание), Американское математическое общество, JSTOR 2153575

[one-1] Г. Х. Харди и Э. М. Райт, Введение в теорию чисел, 5-е изд., Clarendon Press, Oxford, 1979.

[two-2] Кифер Дж. О больших отклонениях эмпирической д.ф. FO векторных случайных переменных и закон повторного логарифма, PacificJ. Математика. 11 (1961), стр. 649-660.

[1]

[2]