Геометрический интегратор - Geometric integrator

В математической области числовые обыкновенные дифференциальные уравнения, а геометрический интегратор численный метод, сохраняющий геометрические свойства точного поток дифференциального уравнения.

Пример маятника

Мы можем мотивировать изучение геометрических интеграторов, рассматривая движение маятник.

Предположим, что у нас есть маятник с массой боба и чей стержень без массы длины . Считайте ускорение силы тяжести . Обозначим через угловое смещение стержня от вертикали и на импульс маятника. В Гамильтониан системы, сумма ее кинетический и потенциал энергии, это

который дает Уравнения Гамильтона

Естественно взять конфигурационное пространство из всех быть единым кругом , так что лежит на баллоне . Однако мы возьмем, просто потому что -пространство тогда легче строить. Определять и . Давайте поэкспериментируем, используя несколько простых численных методов для интеграции этой системы. Как обычно, выбираем постоянный размер шага, , а для произвольного неотрицательного целого числа мы пишем. Мы используем следующие методы.

(явный Эйлер ),
(неявный Эйлер ),
(симплектический Эйлер ),
(неявное правило средней точки ).

(Обратите внимание, что симплектический метод Эйлера рассматривает q явным и неявным методом Эйлера.)

Наблюдение, что постоянна вдоль кривых решения уравнений Гамильтона, позволяет описать точные траектории системы: они являются кривые уровня из . Мы строим в , точные траектории и численные решения системы. В качестве явного и неявного методов Эйлера берем , и z0 = (0,5, 0) и (1,5, 0) соответственно; для двух других методов мы берем , и z0 = (0, 0,7), (0, 1,4) и (0, 2,1).

Простой маятник: траектории

Явный (соответственно неявный) метод Эйлера уходит по спирали из (соответственно внутрь) начала координат. Два других метода демонстрируют правильное качественное поведение, при этом неявное правило средней точки согласуется с точным решением в большей степени, чем симплектический метод Эйлера.

Напомним, что точный поток гамильтоновой системы с одной степенью свободы сохраняет площадь в том смысле, что

для всех .

Эта формула легко проверяется вручную. Для нашего примера с маятником мы видим, что числовой поток явного метода Эйлера есть нет сохранение площади; а именно,

Аналогичный расчет можно провести для неявного метода Эйлера, где определитель

Однако симплектический метод Эйлера является сохранение площади:

таким образом . Неявное правило средней точки имеет аналогичные геометрические свойства.

Подводя итог: пример с маятником показывает, что, помимо явных и неявных методов Эйлера, которые не являются хорошим выбором метода для решения проблемы, симплектический метод Эйлера и неявное правило средней точки хорошо согласуются с точным потоком системы, причем правило средней точки согласуется более точно. Кроме того, эти последние два метода сохраняют площадь, как и точный поток; это два примера геометрических (на самом деле, симплектический ) интеграторы.


Метод подвижной рамки

В подвижная рама метод может быть использован для построения численных методов, сохраняющих Ложь симметрии ОДУ. Существующие методы, такие как Рунге-Кутта может быть изменен с помощью метода подвижной рамки для создания неизменных версий.[1]

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Хайрер, Эрнст; Любич, Кристиан; Ваннер, Герхард (2002). Геометрическое численное интегрирование: сохраняющие структуру алгоритмы для обыкновенных дифференциальных уравнений. Springer-Verlag. ISBN  3-540-43003-2.
  • Леймкухлер, Бен; Райх, Себастьян (2005). Моделирование гамильтоновой динамики. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-77290-7.
  • Budd, C.J .; Пигготт, доктор медицины (2003). «Геометрическая интеграция и ее приложения». Справочник по численному анализу. 11. Эльзевир. С. 35–139. Дои:10.1016 / S1570-8659 (02) 11002-7.
  • Ким, Пилвон (2007). «Инвариантность числовых схем с использованием движущихся рамок». BIT Численная математика. 47. Springer. С. 525–546. Дои:10.1007 / s10543-007-0138-8.