Геометрография - Geometrography
В математике, в геометрии, геометрография изучение геометрических конструкций.[1] Концепции и методы геометрографии впервые были изложены Эмиль Лемуан (1840–1912), а Французский инженер-строитель и математик, на заседании Французской ассоциации развития наук, состоявшемся в Оран в 1888 г. [1] Позже Лемуан расширил свои идеи в других мемуарах, прочитанных в По собрание того же товарищества состоялось в 1892 г.[2]
Это хорошо известно в элементарная геометрия что одни геометрические конструкции проще других. Но во многих случаях оказывается, что кажущаяся простота конструкции заключается не в практическом исполнении конструкции, а в краткости изложения того, что должно быть сделано. Можно ли тогда установить какой-либо объективный критерий, с помощью которого можно оценить относительную простоту нескольких различных конструкций для достижения одной и той же цели? Лемуан развил идеи геометрографии, чтобы ответить на этот вопрос.[1]
Основные идеи
Развивая идеи геометрографии, Лемуан ограничился Евклидово конструкции с использованием линейки и компасы один. Согласно анализу Лемуана, все такие конструкции могут быть выполнены, поскольку последовательность выбранных операций образует фиксированный набор из пяти элементарных операций. Лемуан выделил следующие пять элементарных операций:
Элементарные операции геометрического построения
| Sl. Нет. | Операция | Обозначение для работы |
|---|---|---|
| 1 | Чтобы разместить край линейка по совпадению с точкой | р1 |
| 2 | Чтобы нарисовать прямая линия | р2 |
| 3 | Чтобы поставить точку компаса на определенную точку | C1 |
| 4 | Чтобы поставить точку циркуля на неопределенную точку линии | C2 |
| 5 | Чтобы описать круг | C3 |
В геометрической конструкции тот факт, что операция X должна быть выполнена п раз обозначается выражением пX. Операция совмещения линейки с двумя точками обозначена 2R.1. Операция по установке одной точки циркуля на определенную точку, а другая точка циркуля на другую определенную точку равна 2C.1.
Любую геометрическую конструкцию можно представить выражением следующего вида
- л1р1 + л2р2 + м1C1 + м2C2 + м3C3.
Здесь коэффициенты л1, и т. д. обозначают, сколько раз выполняется какая-либо конкретная операция.
Коэффициент простоты
Номер л1 + л2 + м1 +м2 + м3 называется коэффициент простоты, или простота конструкции. Он обозначает общее количество операций.
Коэффициент точности
Номер л1 + м1 + м2 называется коэффициент точности, или же точность конструкции; он обозначает количество подготовительных операций, от которых зависит точность постройки.
Примеры
Лемуан применил свою схему для анализа более шестидесяти задач элементарной геометрии.[1]
- Построение треугольника по трем вершинам можно представить выражением 4R1 + 3R2.
- Определенная конструкция регулярного гептадекагон с участием Карлайл круги можно представить выражением 8R1 + 4R2 + 22С1 + 11C3 и имеет простоту 45.[3]
Рекомендации
- ^ а б c d Дж. С. Маккей (1893 г.). "Геометрография проблем Евклида". Труды Эдинбургского математического общества. 12: 2–16. Дои:10.1017 / S0013091500001565. Получено 5 ноября 2011.
- ^ Лемуан, Эмиль. "Géométrographie ou Art des constructions géométriques". Gallica Bibliotheque Numerique. Получено 5 ноября 2011.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гептадекагон». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html
дальнейшее чтение
- Гесс, Адриен Л. (март – апрель 1956 г.). «Некоторые темы, связанные с конструкциями с линейкой и циркулем». Математический журнал. 29 (4): 217–221. JSTOR 3029638.
- Ньютон, Гай Торнвел (1926). Геометрография с приложениями к приборам рисовальщика. Техасский университет. п. 190.
- ДеТемпл, Дуэйн В. (февраль 1991 г.). «Круги Карлейля и лемуанская простота многоугольных построений» (PDF). Американский математический ежемесячник. 98 (2): 97–208. Дои:10.2307/2323939. Архивировано из оригинал (PDF) на 2015-12-21. Получено 6 ноября 2011.