Граница Грисмера - Griesmer bound

в математика из теория кодирования, то Граница Грисмера, названный в честь Джеймса Хьюго Грайсмера, ограничен длиной линейный двоичный коды измерения k и минимальное расстояние d.Есть также очень похожая версия для недвоичных кодов.

Заявление о привязке

Для двоичного линейного кода граница Грайсмера:

{displaystyle ngeqslant sum _ {i = 0} ^ {k-1} leftlceil {frac {d} {2 ^ {i}}} ightceil.}

Доказательство

Позволять ${displaystyle N (k, d)}$ обозначают минимальную длину двоичного кода размерности k и расстояние d. Позволять C быть таким кодом. Мы хотим показать, что

{displaystyle N (k, d) geqslant sum _ {i = 0} ^ {k-1} leftlceil {frac {d} {2 ^ {i}}} ightceil.}

Позволять грамм быть образующей матрицей C. Всегда можно предположить, что первая строка грамм имеет форму р = (1, ..., 1, 0, ..., 0) с весом d.

{displaystyle G = {egin {bmatrix} 1 & dots & 1 & 0 & dots & 0 ast & ast & ast && G '& end {bmatrix}}}

Матрица ${displaystyle G '}$ генерирует код ${displaystyle C '}$ , который называется остаточным кодом ${displaystyle C.}$ ${displaystyle C '}$ очевидно имеет размер ${displaystyle k '= k-1}$ и длина ${displaystyle n '= N (k, d) -d.}$ ${displaystyle C '}$ находится на расстоянии ${displaystyle d ',}$ но мы этого не знаем. Позволять ${displaystyle uin C '}$ быть таким, чтобы ${displaystyle w (u) = d '}$ . Существует вектор ${displaystyle vin mathbb {F} _ {2} ^ {d}}$ так что конкатенация ${displaystyle (v | u) в C.}$ потом ${displaystyle w (v) + w (u) = w (v | u) geqslant d.}$ С другой стороны, также ${displaystyle (v | u) + rin C,}$ поскольку ${displaystyle rin C}$ и ${displaystyle C}$ линейно: ${displaystyle w ((v | u) + r) geqslant d.}$ Но

{displaystyle w ((v | u) + r) = w (((1, cdots, 1) + v) | u) = d-w (v) + w (u),}

так это становится ${displaystyle d-w (v) + w (u) geqslant d}$ . Суммируя это с ${displaystyle w (v) + w (u) geqslant d,}$ мы получаем ${displaystyle d + 2w (u) geqslant 2d}$ . Но ${displaystyle w (u) = d ',}$ так что мы получаем ${displaystyle d'geqslant {frac {d} {2}}.}$ Из этого следует