Граница Плоткина - Википедия - Plotkin bound

в математика из теория кодирования, то Плоткин граница, названный в честь Морриса Плоткина, является пределом (или ограничением) максимально возможного количества кодовых слов в двоичный коды данной длины п и заданное минимальное расстояние d.

Заявление о привязке

Код считается "двоичным", если в кодовых словах используются символы из двоичного алфавит . В частности, если все кодовые слова имеют фиксированную длину п, то двоичный код имеет длину п. Эквивалентно, в этом случае кодовые слова можно рассматривать как элементы векторное пространство над конечное поле . Позволять быть минимальным расстоянием , т.е.

куда это Расстояние Хэмминга между и . Выражение представляет максимальное количество возможных кодовых слов в двоичном коде длины и минимальное расстояние. Граница Плоткина накладывает ограничение на это выражение.

Теорема (оценка Плоткина):

i) Если даже и , тогда

ii) Если это странно и , тогда

iii) Если четно, тогда

iv) Если странно, то

куда обозначает функция пола.

Доказательство дела я)

Позволять быть Расстояние Хэмминга из и , и быть количеством элементов в (таким образом, равно ). Оценка доказывается ограничением величины двумя разными способами.

С одной стороны, есть выбор для и для каждого такого выбора есть выбор для . Поскольку по определению для всех и (), следует, что

С другой стороны, пусть быть матрица, строки которой являются элементами . Позволять быть количеством нулей, содержащихся в -й столбец . Это означает, что столбец содержит ед. Каждый выбор нуля и единицы в одном столбце дает точный вклад (потому что ) к сумме и поэтому

Количество справа максимизируется тогда и только тогда, когда относится ко всем (на этом этапе доказательства мы игнорируем тот факт, что целые числа), то

Комбинируя верхнюю и нижнюю оценки для что мы только что получили,

что с учетом того эквивалентно

С четно, отсюда следует, что

Это завершает доказательство оценки.

Смотрите также

Рекомендации

  • Плоткин, Моррис (1960). «Двоичные коды с заданным минимальным расстоянием». Сделки IRE по теории информации. 6: 445–450. Дои:10.1109 / TIT.1960.1057584.