Связь Гротендика - Grothendieck connection

В алгебраическая геометрия и синтетическая дифференциальная геометрия, а Связь Гротендика это способ просмотра связи с точки зрения данных спуска из бесконечно малых окрестностей диагонали.

Введение и мотивация

Связь Гротендика является обобщением Связь Гаусса – Манина построены аналогично тому, в котором Связь Эресманна обобщает Кошульская связь. Сама конструкция должна удовлетворять требованию геометрическая инвариантность, который можно рассматривать как аналог ковариация для более широкого класса конструкций, включая схемы алгебраической геометрии. Таким образом, связь в определенном смысле должна существовать в естественном пучок на Топология Гротендика. В этом разделе мы обсудим, как описать связность Эресмана в терминах теории пучков как связность Гротендика.

Позволять M быть многообразие и π: E → M а сюръективный погружение, так что E является многообразием, расслоенным над M. Пусть J1(M,E) быть первым порядком струйный пучок разделов E. Это можно рассматривать как совокупность M или пучок по всей площади E. В последней интерпретации связность Эресмана - это сечение расслоения (над E) J1(M,E) → E. Таким образом, проблема состоит в том, чтобы получить внутреннее описание пучка сечений этого векторного расслоения.

Решение Гротендика состоит в рассмотрении диагонального вложения Δ: M → M × M. Связка я идеалов Δ в M × M состоит из функций на M × M которые исчезают по диагонали. Большая часть бесконечно малой геометрии M может быть реализовано в виде я. Например, Δ* (я/я2) - пучок секций котангенсный пучок. Можно определить бесконечно малая окрестность первого порядка M(2) Δ в M × M быть подсхема соответствующий пучку идеалов я2. (См. Ниже описание координат.)

Есть пара выступов п1, п2 : M × M → M заданные проекцией соответствующие коэффициенты декартова произведения, которые ограничивают возможность давать прогнозы п1, п2 : M(2) → M. Теперь можно сформировать откат волоконного пространства E вдоль одного или другого из п1 или же п2. В общем, канонического способа определения нет п1*E и п2*E друг с другом. А Связь Гротендика является заданным изоморфизмом между этими двумя пространствами. Можно перейти к определению кривизна и p-кривизна соединения на том же языке.

Рекомендации

  1. Оссерман, Б., "Связности, кривизна и p-кривизна", препринт.
  2. Кац, Н., "Нильпотентные связности и теорема монодромии", IHES Publ. Математика. 39 (1970) 175–232.