Метод сокрытия Хевисайда - Heaviside cover-up method

В Метод сокрытия Хевисайда, названный в честь Оливер Хевисайд, является одним из возможных подходов к определению коэффициентов при выполнении частичное расширение из рациональная функция.^[1]

Метод

Разделение дробного алгебраического выражения на частичные дроби является обратным процессу объединения дробей путем преобразования каждой дроби в наименьший общий знаменатель (LCD) и сложения числителей. Это разделение может быть выполнено с помощью метода сокрытия Хевисайда, другого метода определения коэффициентов частичной фракции. В первом случае есть дробные выражения, в которых множители в знаменателе уникальны. Во втором случае есть дробные выражения, в которых некоторые множители могут повторяться как степени бинома.

В интегральном исчислении мы хотели бы записать дробное алгебраическое выражение как сумму его частичных дробей, чтобы получить интеграл от каждой простой дроби отдельно. После того, как исходный знаменатель, D₀, учтено мы установите дробь для каждого множителя в знаменателе. Мы можем использовать индекс D с нижним индексом для обозначения знаменателя соответствующих дробных дробей, которые являются множителями в D₀. Буквы A, B, C, D, E и так далее будут обозначать числители соответствующих частичных фракций. Когда член частичной дроби имеет в знаменателе один (т. Е. Неповторяющийся) бином, числитель является остаток функции, определенной входной дробью.

Мы вычисляем каждый соответствующий числитель по формуле (1), извлекая корень из знаменателя (т. Е. Значение Икс что делает знаменатель равным нулю) и (2) затем подставляя этот корень в исходное выражение, но игнорируя соответствующий множитель в знаменателе. Каждый корень переменной - это значение, которое дало бы неопределенное значение выражению, поскольку мы не делим на ноль.

Общая формула для кубического знаменателя с тремя различными корнями:

{displaystyle {frac {ell x ^ {2} + mx + n} {(xa) (xb) (xc)}} = {frac {A} {(xa)}} + {frac {B} {(xb) }} + {frac {C} {(xc)}}}

Где

{displaystyle A = {frac {ell a ^ {2} + ma + n} {(a-b) (a-c)}};}

и где

{displaystyle B = {frac {ell b ^ {2} + mb + n} {(b-c) (b-a)}};}

и где

{displaystyle C = {frac {ell c ^ {2} + mc + n} {(c-a) (c-b)}}.}

Случай первый

Факторизуйте выражение в знаменателе. Установите частичную дробь для каждого фактора в знаменателе. Примените правило сокрытия, чтобы найти новый числитель каждой частичной дроби.

Пример

{displaystyle {frac {3x ^ {2} + 12x + 11} {(x + 1) (x + 2) (x + 3)}} = {frac {A} {x + 1}} + {frac {B } {x + 2}} + {гидроразрыв {C} {x + 3}}}

Установите частичную дробь для каждого фактора в знаменателе. В этой структуре мы применяем правило сокрытия, чтобы решить А, B, и C.

1. D₁ является Икс + 1; установите его равным нулю. Это дает остаток для А когда Икс = −1.

2. Затем подставьте это значение x в дробное выражение, но без D₁.

3. Запишите это значение как значение А.

Действуйте аналогично для B и C.

D₂ является Икс + 2; Для остатка B использовать Икс = −2.

D₃ является Икс + 3; Для остатка C использовать Икс = −3.

Таким образом, чтобы решить А, используйте Икс = −1 в выражении, но без D₁:

{displaystyle {frac {3x ^ {2} + 12x + 11} {(x + 2) (x + 3)}} = {frac {3-12 + 11} {(1) (2)}} = {frac {2} {2}} = 1 = A.}

Таким образом, чтобы решить B, используйте Икс = −2 в выражении, но без D₂:

{displaystyle {frac {3x ^ {2} + 12x + 11} {(x + 1) (x + 3)}} = {frac {12-24 + 11} {(- 1) (1)}} = { гидроразрыв {-1} {(- 1)}} = + 1 = B.}

Таким образом, чтобы решить C, используйте Икс = −3 в выражении, но без D₃:

{displaystyle {frac {3x ^ {2} + 12x + 11} {(x + 1) (x + 2)}} = {frac {27-36 + 11} {(- 2) (- 1)}} = {frac {2} {(+ 2)}} = + 1 = C.}

Таким образом,

{displaystyle {frac {3x ^ {2} + 12x + 11} {(x + 1) (x + 2) (x + 3)}} = {frac {1} {x + 1}} + {frac {1 } {x + 2}} + {гидроразрыв {1} {x + 3}}}

Случай второй

Когда множители знаменателя включают степени одного выражения, мы

Установите частичную дробь для каждого уникального фактора и каждой более низкой степени D;
Составьте уравнение, показывающее отношение числителей если бы все было преобразовано в LCD.

Из уравнения числителей мы решаем для каждого числителя, A, B, C, D и т. Д. Это уравнение числителей является абсолютным тождеством, истинным для всех значений x. Итак, мы можем выбрать любое значение x и найти числитель.

Пример

{displaystyle {frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = {frac {A} {(1-2x) ^ {2}}} + {frac {B} {1-2x} }}

Здесь мы устанавливаем частичную дробь для каждой убывающей степени знаменателя. Затем мы решаем числители A и B. ${displaystyle (1-2x)}$ - повторяющийся множитель, теперь нам нужно найти два числа, так как нам нужно дополнительное отношение, чтобы решить для обоих. отношение числителей вторая фракция нуждается в другом множителе ${displaystyle (1-2x)}$ преобразовать его в ЖК-дисплей, дав нам ${displaystyle 3x + 5 = A + B (1-2x)}$ . В общем, если возвести биномиальный множитель в степень ${displaystyle n}$ , тогда ${displaystyle n}$ константы ${displaystyle A_ {k}}$ будут необходимы, каждая из которых будет разделена на следующие силы, ${displaystyle (1-2x) ^ {k}}$ , куда ${displaystyle k}$ работает от 1 до ${displaystyle n}$ . Правило сокрытия можно использовать, чтобы найти ${displaystyle A_ {n}}$ , но все еще ${displaystyle A_ {1}}$ это называется остаток. Здесь, ${displaystyle n = 2}$ , ${displaystyle A = A_ {2}}$ , и ${displaystyle B = A_ {1}}$

Решить для ${displaystyle A}$ :

${displaystyle A}$ можно решить, установив знаменатель первой дроби равным нулю, ${displaystyle 1-2x = 0}$ .

Решение для ${displaystyle x}$ дает значение сокрытия для ${displaystyle A}$ : когда ${displaystyle x = 1/2}$ .

Когда мы подставляем это значение, ${displaystyle x = 1/2}$ , мы получили:

{displaystyle 3left ({frac {1} {2}} ight) + 5 = A + B (0)}

{displaystyle A = {frac {3} {2}} + 5 = {frac {13} {2}}}

Решить для ${displaystyle B}$ :

Поскольку уравнение числителей здесь, ${displaystyle 3x + 5 = A + B (1-2x)}$ , верно для все ценности ${displaystyle x}$ , выберите значение для ${displaystyle x}$ и используйте его, чтобы решить ${displaystyle B}$ .