Набор Хайльбронн - Heilbronn set

В математике Набор Хайльбронн бесконечное множество S натуральных чисел, для которых каждое настоящий номер можно сколь угодно точно аппроксимировать дробью, знаменатель которой находится вS. Для любого данного реального числа ${ displaystyle theta}$ и натуральное число ${ displaystyle h}$, легко найти целое число ${ displaystyle g}$ такой, что ${ displaystyle g / h}$ ближе всего к ${ displaystyle theta}$. Например, для реального числа ${ displaystyle pi}$ и ${ displaystyle h = 100}$ у нас есть ${ displaystyle g = 314}$. Если мы называем близость ${ displaystyle theta}$ к ${ displaystyle g / h}$ разница между ${ displaystyle h theta}$ и ${ displaystyle g}$, близость всегда меньше 1/2 (в нашем примере это 0,15926 ...). Набор чисел - это набор Хайльбронна, если для любого ${ displaystyle theta}$ мы всегда можем найти последовательность значений для ${ displaystyle h}$ в наборе, где близость стремится к нулю.

Математически пусть ${ Displaystyle | альфа |}$ обозначают расстояние от ${ displaystyle alpha}$ к ближайшему целому числу, затем ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ является набором Хайльбронна тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа ${ displaystyle theta}$ и каждый ${ displaystyle varepsilon> 0}$ Существует ${ displaystyle h in { mathcal {H}}}$ такой, что ${ Displaystyle | час тета | < varepsilon}$.^[1]

Примеры

Натуральные числа - это Хайльбронн, установленный как Аппроксимационная теорема Дирихле показывает, что существует ${ Displaystyle д <[1 / varepsilon]}$ с ${ Displaystyle | д тета | < varepsilon}$.

В ${ displaystyle k}$-ые степени целых чисел - это множество Хейльбронна. Это следует из результата Виноградов И. М. кто показал это для каждого ${ displaystyle N}$ и ${ displaystyle k}$ существует показатель степени ${ displaystyle eta _ {k}> 0}$ и ${ displaystyle q$ такой, что ${ displaystyle | q ^ {k} theta | ll N ^ {- eta _ {k}}}$.^[2] В случае ${ displaystyle k = 2}$ Ганс Хайльбронн смог показать, что ${ displaystyle eta _ {2}}$ может быть принято произвольно близко к 1/2.^[3] Александру Захареску улучшил результат Хейльбронна, чтобы показать, что ${ displaystyle eta _ {2}}$ можно принять произвольно близким к 4/7.^[4]

Любой Набор Van der Corput также является множеством Хайльбронна.

Пример не-хейльбронновского множества

Степень 10 не является набором Хейльбронна. Брать ${ displaystyle varepsilon = 0,001}$ затем утверждение, что ${ Displaystyle | 10 ^ {к} тета | < varepsilon}$ для некоторых ${ displaystyle k}$ эквивалентно утверждению, что десятичное разложение ${ displaystyle theta}$ где-то пробегает три нуля или три девятки. Это не относится ко всем действительным числам.

Рекомендации