Компактная конечно-разностная схема высшего порядка - Higher-order compact finite difference scheme

Трафарет HOC с девятью точками

Компактные конечно-разностные схемы высокого порядка используются для решения третьего порядка дифференциальные уравнения созданный при изучении краевые задачи с препятствиями. Они показали свою высокую точность и эффективность. Они построены путем модификации схемы второго порядка, разработанной Нуром и Аль-Саидом в 2002 году. скорость сходимости компактной схемы высокого порядка - третьего порядка, схемы второго порядка - четвертого порядка.[1]

Дифференциальные уравнения являются важными инструментами в математическое моделирование. Наиболее физические системы описываются в терминах математических моделей, которые включают конвективный и диффузионный перенос некоторых переменных. Конечно-разностные методы являются одними из самых популярных методов, которые наиболее часто применяются при решении таких дифференциальных уравнений. Конечно-разностная схема компактна в том смысле, что дискретизированная формула содержит не более девяти точек трафареты который включает узел посередине о том, какие различия взяты. Кроме того, более высокий порядок точности (более двух) оправдывает использование терминологии «компактная конечно-разностная схема высшего порядка» (HOC). Этого можно добиться несколькими способами. Рассматриваемая здесь компактная схема высшего порядка [2] заключается в использовании исходного дифференциального уравнения для замены ведущего ошибка усечения члены конечно-разностного уравнения. В целом схема оказалась надежной, эффективной и точной для большинства вычислительная гидродинамика (CFD) приложения обсуждаются здесь далее.

Простейшей задачей для проверки численных алгоритмов является проблема с полостью, управляемой крышкой. Расчетные результаты в виде таблиц, графиков и рисунков для жидкости с числом Прандтля = 0,71 с числом Рэлея (Ra) в диапазоне от 103 до 107 доступны в литературе.[2] Эффективность схемы доказана, когда она очень четко улавливает вторичные и третичные вихри на сторонах полости при высоких значениях Ra.

Другой важной вехой стала разработка этих схем для решения двумерных уравнений стационарной / нестационарной конвективной диффузии. Проведено комплексное исследование обтекания импульсным пуском кругового цилиндра.[3] Проблема обтекания кругового цилиндра продолжает вызывать огромный интерес.[требуется разъяснение ] среди исследователей, работающих в области CFD, главным образом потому, что она отображает почти все механические явления жидкости для несжимаемых, вязких потоков в простейших геометрических параметрах. Он смог более точно анализировать и визуализировать структуру потока для числа Рейнольдса (Re) в диапазоне от 10 до 9500 по сравнению с существующими численными результатами. За этим последовало его расширение до вращающегося аналога поверхности цилиндра для Re от 200 до 1000.[4] Более сложное явление, когда круговой цилиндр совершает вращательные колебания при поступлении в жидкости, изучено для Re до 500.[5] [6]

Еще одним ориентиром в истории является его распространение на явления многофазного потока. Такие природные процессы, как пузырьки газа в нефти, таяние льда, влажный пар, наблюдаются повсюду в природе. Такие процессы также играют важную роль в практических приложениях в области биологии, медицины, восстановление окружающей среды. Схема была последовательно реализована для решения одномерного и двумерного эллиптического и параболического уравнения с разрывными коэффициентами и сингулярными источниками.[7] Проблемы такого типа имеют численное значение, потому что они обычно приводят к негладким или прерывистым решениям на интерфейсах. В настоящее время происходит расширение этой идеи с фиксированных на подвижные интерфейсы как с регулярной, так и с нерегулярной геометрией.[8][9]

Рекомендации

  1. ^ Xie, S .; Li, P .; Gao, Z .; Ван Х. (2012). «Компактные конечно-разностные схемы высокого порядка для системы краевой задачи третьего порядка». Прикладная математика и вычисления. 219 (5): 2564. Дои:10.1016 / j.amc.2012.08.091.
  2. ^ а б Калита Дж., Далал Д. К. и Дасс А. К., Класс компактных схем высшего порядка для нестационарных двумерных уравнений конвекции-диффузии с переменными коэффициентами конвекции., Int. J. Numer. Meth. Жидкости, Vol. 101, (2002), стр. 1111–1131.
  3. ^ Дж. К. Калита, Р. К. Рэй. Схема HOC без преобразований для вязких течений несжимаемой вязкой жидкости, проходящих через импульсный пусковой круговой цилиндр, Int. J. Numer. Meth. Жидкости, Vol. 228, (2009), стр. 5207–5236
  4. ^ Р. К. Рэй. Схема HOC без трансформации для несжимаемой вязкой жидкости, обтекающей вращающийся и поступающий круговой цилиндр, J. Sci. Comput., Vol. 46, (2011), стр. 265–293.
  5. ^ Х. В. Р. Миттал, Раджендра К. Рэй и Касем М. Аль-Мдаллал, Численное исследование начального обтекания вращающегося кругового цилиндра с импульсным запуском вращения с использованием схемы HOC без преобразования, Physics of Fluids, vol. 29, нет. 9 (2017), стр. 093603
  6. ^ Х. В. Р. Миттал, Касем М. Аль-Мдаллал и Раджендра К. Рэй, Режимы отрыва завихренных вихрей от вращательно колеблющегося кругового цилиндра, Ocean Engineering, vol. 146 (2017), стр. 324-338
  7. ^ Раджендра К. Рэй, Дж. К. Калита и А. К. Дасс, Эффективная схема HOC для уравнений нестационарной конвекции – диффузии реакции с разрывными коэффициентами и сингулярными источниками, Proc. Appl. Математика. Мех., Т. 7, вып. 1 (2007), стр. 1025603–1025604
  8. ^ Х. В. Р. Миттал, Джитен К. Калита и Раджендра К. Рэй, Класс разностных схем для интерфейсных задач с подходом HOC, Международный журнал численных методов в жидкостях, вып. 82, нет. 9 (2016), стр. 567-606.
  9. ^ Х. В. Р. Миттал, Рэй, Раджендра К. Рэй, Решение задач погруженного интерфейса с использованием нового подхода конечных разностей на основе точек раздела, SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 40, нет. 3 (2018), стр. A1860-A1883