Задача о сотне кур - Hundred Fowls Problem

В Задача о сотне кур - проблема, впервые обсуждаемая в пятом веке нашей эры. Китайская математика текст Чжан Цюцзянь Суньцзин (Математическая классика Чжан Цюцзянь), книга математических задач, написанная Чжан Цюцзянь. Это один из самых известных примеров неопределенных задач в ранней истории математики.^[1] Проблема появляется как последняя проблема в Чжан Цюцзянь Суньцзин (Проблема 38 в главе 3). Однако проблема и ее варианты появлялись в средневековой математической литературе Индии, Европы и арабского мира.^[2]

Название «Проблема сотни кур» принадлежит бельгийскому историку Луи ван Хи.^[3]

Постановка задачи

Проблема сотни куриц, представленная в Чжан Цюцзянь Суньцзин можно перевести так:^[4]

«Теперь один петух стоит 5 цянь, одна курица - 3 цянь и 3 птенца - 1 цянь. Требуется купить 100 голов за 100 цянь. В каждом случае найдите количество купленных петухов, кур и цыплят».

Математическая формулировка

Позволять Икс быть количеством петухов, у быть количеством кур, и z быть количеством цыплят, тогда проблема в том, чтобы найти Икс, у и z удовлетворяющие следующим уравнениям:

Икс + у +z = 100

5Икс + 3у + z/3 = 100

Очевидно, что допустимы только неотрицательные целые числа. Выражая у и z с точки зрения Икс мы получаем

у = 25 − (7/4)Икс

z = 75 + (3/4)Икс

поскольку Икс, у и z все должны быть целыми числами, выражение для у предполагает, что Икс должно быть кратно 4. Следовательно, общее решение системы уравнений может быть выражено с помощью целочисленного параметра т следующим образом:^[5]

Икс = 4т

у = 25 − 7т

z = 75 + 3т

поскольку у должно быть неотрицательным целым числом, единственные возможные значения т равны 0, 1, 2 и 3. Таким образом, полный набор решений определяется выражением

(Икс,у,z) = (0,25,75), (4,18,78), (8,11,81), (12,4,84).

из которых последние три были даны в Чжан Цюцзянь Суньцзин.^[3] Однако не указан общий метод решения таких проблем, что вызывает подозрение, что решения были получены методом проб и ошибок.^[1]

Проблема сотни куриц найдена в Чжан Цюцзянь Суньцзин является частным случаем общей задачи нахождения целочисленных решений следующей системы уравнений:

Икс + у + z = d

топор + к + cz = d

Любую проблему этого типа иногда называют «проблемой сотни куриц».^[3]

Вариации

Некоторые варианты проблемы сотни куриц появились в математической литературе нескольких культур.^[1][2] Далее мы представляем несколько примеров проблем, обсуждаемых в этих культурах.

Индийская математика

Махавира с Ганита-сара-санграха содержит следующую проблему:

Голуби продаются по цене 5 за 3, сараса-птицы по цене 7 за 5, лебеди по цене 9 за 7, павлины по цене 3 за 9 (панас). Некий мужчина велел принести 100 птиц за 100 панас. Что он дает за каждого вида птиц, которых он покупает?

В Бакшалинская рукопись дает задачу решения следующих уравнений:

Икс + у + z = 20

3Икс + (3/2)у + (1/2)z = 20

Средневековая Европа

Английский математик Алкуин из Йорка (8 век, 735-19 мая 804 г. н.э.) сформулировал семь проблем, похожих на проблему сотни куриц в своей работе. Propositiones ad acuendos iuvenes. Вот типичная проблема:

Если 100 бушелей кукурузы распределить между 100 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3 бушеля, каждая женщина - 2 бушеля, а каждый ребенок - полбушеля, то сколько же было мужчин, женщин и детей?

Арабская математика

Абу Камил (850 - 930 гг. Н.э.) рассматривали неотрицательные целые решения следующих уравнений:

Икс + у + z = 100

3Икс + (/20)у+ (1/3)z = 100.

использованная литература