Гипергомология - Hyperhomology

В гомологическая алгебра, то гипергомология или же гиперкогомология комплекса объектов абелева категория является расширением обычных гомологий объекта до комплексов и представляет собой нечто среднее между когомологиями производных функторов объекта и гомологиями цепного комплекса.

Гипергомология больше не используется широко: примерно с 1970 года она была в значительной степени заменена примерно эквивалентной концепцией производный функтор между производные категории.

Определение

Мы даем определение гиперкогомологии, поскольку это более распространено. Как обычно, гиперкогомологии и гипергомологии по сути одно и то же: одна переходит из одной в другую путем дуализации, то есть путем изменения направления всех стрелок, замены инъективных объектов проективными и т. Д.

Предположим, что А абелева категория с достаточно инъекций и F а левый точный функтор в другую абелеву категорию B. Если C представляет собой комплекс объектов А ограниченный слева, гиперкогомология

ЧАС^я(C)

из C (для целого числа я) рассчитывается следующим образом:

Взять квазиизоморфизм Φ : C → я, здесь я представляет собой комплекс инъективных элементов А.
Гиперкогомологии ЧАС^я(C) из C тогда когомологии ЧАС^я(F(я)) комплекса F(я).

Гиперкогомологии C не зависит от выбора квазиизоморфизм, с точностью до однозначных изоморфизмов.

Гиперкогомологии также можно определить с помощью производные категории: гиперкогомология C это просто когомологии РФ(C) рассматривается как элемент производной категории B.

Для комплексов, которые обращаются в нуль при отрицательных индексах, гиперкогомологии можно определить как производные функторы ЧАС⁰ = FH⁰ = ЧАС⁰F.

Спектральные последовательности гиперкогомологий

Есть две гиперкогомологии спектральные последовательности; один с E₂ срок

{ Displaystyle R ^ {я} F (H ^ {j} (C))}

а другой с E₁ срок

{ displaystyle R ^ {j} F (C ^ {i})}

и E₂ срок

{ Displaystyle Н ^ {я} (R ^ {j} F (C))}

оба сходятся к гиперкогомологиям

{ displaystyle H ^ {я + j} (RF (C))}

,

куда р^jF это правый производный функтор из F.

Примеры

Для разнообразия Икс над полем kвторая спектральная последовательность сверху дает Спектральная последовательность Ходжа-де Рама за алгебраические когомологии де Рама:
${ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = H ^ {q} (X, Omega _ {X} ^ {p}) Rightarrow mathbf {H} ^ {p + q} (X, Омега _ {X} ^ { bullet}) =: H_ {DR} ^ {p + q} (X / k)}$ .
Другой пример взят из голоморфный бревенчатый комплекс на комплексном многообразии. Позволять Икс - комплексное алгебраическое многообразие и ${ displaystyle j: X hookrightarrow Y}$ хорошая компактификация. Это означает, что Y компактное алгебраическое многообразие и ${ Displaystyle D = YX}$ является делителем на ${ displaystyle Y}$ с простыми нормальными переходами. Естественное включение комплексов пучков
${ displaystyle Omega _ {Y} ^ { bullet} ( log D) rightarrow j _ {*} Omega _ {X} ^ { bullet}}$
оказывается квазиизоморфизмом и индуцирует изоморфизм
${ displaystyle H ^ {k} (X; mathbb {C}) rightarrow mathbf {H} ^ {k} (Y, Omega _ {Y} ^ { bullet} ( log D))}$ .