Неразделимое дифференциальное уравнение - Inseparable differential equation

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Неразделимое дифференциальное уравнение»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, неразрывное дифференциальное уравнение является обыкновенное дифференциальное уравнение это не может быть решено с помощью разделение переменных. Для решения неразрывного дифференциального уравнения можно использовать ряд других методов, например Преобразование Лапласа, замена, так далее.

Примеры

Рассмотрим общее неотделимое уравнение

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} + p (x) y = q (x)}$

Теперь мы определим специальный факториал, μ в качестве

${ Displaystyle му = е ^ { int p (x) dx}}$

Таким образом:

${ displaystyle { frac {d mu} {dx}} = (e ^ { int p (x) dx}) { frac {d} {dx}} ( int p (x) dx)}$

${ displaystyle { frac {d mu} {dx}} = mu p (x)}$

Отсюда мы можем решить уравнение, используя приведенное выше определение:

${ displaystyle mu { frac {dy} {dx}} + mu p (x) y = mu q (x)}$

${ displaystyle mu { frac {dy} {dx}} + y { frac {d mu} {dx}} = mu q (x)}$

(используя правило продукта в обратном порядке)

${ displaystyle { frac {d} {dx}} ( mu y) = mu q (x)}$

${ Displaystyle му у = int му q (х) dx}$

В итоге получаем:

${ Displaystyle у = { гидроразрыва { int mu q (x) dx} { mu}}}$

Это может быть использовано для решения большинства неразрывных уравнений, не содержащих у в степени, отличной от одной. Например, решение неразрывного уравнения:

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = x + y}$

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} - y = x}$

Разложив в требуемом виде, получаем:

${ Displaystyle р (х) = - 1 }$

${ Displaystyle д (х) = х }$

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} + p (x) y = q (x)}$

Теперь все, что нужно, - это найти значение μ чтобы включить в наше исходное уравнение ${ displaystyle y = { frac { int mu q (x) dx} { mu}}.}$

${ displaystyle mu = e ^ { int p (x) dx} = e ^ { int -1dx} = e ^ {- x}}$

Включение этого в исходное уравнение и упрощение дает нам окончательный ответ:

${ displaystyle y = { frac { int xe ^ {- x}} {e ^ {- x}}}}$

${ displaystyle y = e ^ {x} (- xe ^ {- x} -e ^ {- x} + C) }$

${ displaystyle y = Ce ^ {x} -x-1 }$

Рассмотрим, например, неразрывное уравнение

${ displaystyle 2y '' + 3y '+ y = 5. }$

Решим его с помощью преобразования Лапласа. У одного есть это

${ displaystyle { mathcal {L}} {f '} = s { mathcal {L}} {f } - f (0)}$

${ displaystyle { mathcal {L}} {f '' } = s ^ {2} { mathcal {L}} {f } - sf (0) -f '(0)}$

${ displaystyle { mathcal {L}} left {f ^ {(n)} right } = s ^ {n} { mathcal {L}} {f } - s ^ {n-1 } f (0) - cdots -f ^ {(n-1)} (0).}$

Используя удобство того, что преобразования Лапласа следуют правилам линейности, можно решить приведенный выше пример для у путем выполнения преобразования Лапласа с обеих сторон дифференциального уравнения, подстановки начальных значений, решения преобразованной функции и последующего выполнения обратного преобразования.

Для приведенного выше примера предположим, что начальные значения равны ${ Displaystyle у (0) = 0}$ и ${ displaystyle y '(0) = 0.}$ Потом,

${ displaystyle 2 (s ^ {2} Y-s cdot 0-0) +3 (sY-0) + Y = { frac {5} {s}}.}$

Следует, что

${ displaystyle (2s + 1) (s + 1) Y = { frac {5} {s}}}$

или же

${ displaystyle Y = { frac {5} {s (2s + 1) (s + 1)}}.}$

Теперь можно просто взять обратное преобразование Лапласа Y получить решение у к исходному уравнению.

Смотрите также

• примеры дифференциальных уравнений
• метод вариации параметров