Примеры дифференциальных уравнений - Examples of differential equations

Дифференциальные уравнения возникают во многих проблемах физика, инженерное дело, и другие науки. В следующих примерах показано, как решать дифференциальные уравнения в нескольких простых случаях, когда существует точное решение.

Сепарабельные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения в виде ${displaystyle {frac {dy} {dx}} = f (x) g (y)}$ называются отделимыми и решаются ${displaystyle {frac {dy} {g (y)}} = f (x) dx}$ и поэтому ${displaystyle int {frac {dy} {g (y)}} = int f (x) dx}$. До деления на ${displaystyle g (y)}$, необходимо проверить, существуют ли стационарные (также называемые равновесными) решениями ${displaystyle y = const}$ удовлетворение ${displaystyle g (y) = 0}$.

Сепарабельные (однородные) линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Отделимый линейный обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка должны быть однородными и иметь общий вид

${displaystyle {frac {dy} {dt}} + f (t) y = 0}$

куда ${displaystyle f (t)}$ некоторые известны функция. Мы можем решить эту проблему разделение переменных (перемещение у условия в одну сторону и т термины на другую сторону),

${displaystyle {frac {dy} {y}} = - f (t), dt}$

Поскольку разделение переменных в этом случае предполагает деление на у, мы должны проверить, что постоянная функция у = 0 является решением исходного уравнения. Тривиально, если у = 0 тогда у '= 0, так у = 0 фактически является решением исходного уравнения. Отметим, что у = 0 не допускается в преобразованном уравнении.

Решаем преобразованное уравнение с переменными, уже разделенными Интеграция,

${displaystyle ln | y | = left (-int f (t), dtight) + C}$

куда C - произвольная постоянная. Затем по возведение в степень, мы получаем

${displaystyle y = pm e ^ {left (-int f (t), dtight) + C} = pm e ^ {C} e ^ {- int f (t), dt}}$.

Здесь, ${displaystyle e ^ {C}> 0}$, так ${displaystyle pm e ^ {C} eq 0}$. Но мы независимо проверили, что у = 0 также является решением исходного уравнения, поэтому

${displaystyle y = Ae ^ {- int f (t), dt}}$.

с произвольной постоянной А, который охватывает все случаи. Легко подтвердить, что это решение, подставив его в исходное дифференциальное уравнение:

${displaystyle {frac {dy} {dt}} + f (t) y = -f (t) cdot Ae ^ {- int f (t), dt} + f (t) cdot Ae ^ {- int f (t) ), dt} = 0}$

Некоторая доработка необходима, потому что ƒ(т) может быть даже не интегрируемым. Прежде чем уравнение будет полностью определено, необходимо также предположить что-то об областях определения задействованных функций. Приведенное выше решение предполагает настоящий дело.

Если ${displaystyle f (t) = alpha}$ является константой, решение особенно простое, ${displaystyle y = Ae ^ {- alpha t}}$ и описывает, например, если ${displaystyle alpha> 0}$, экспоненциальный распад радиоактивного материала на макроскопическом уровне. Если значение ${displaystyle alpha}$ неизвестно априори, его можно определить по двум измерениям решения. Например,

${displaystyle {frac {dy} {dt}} + альфа y = 0, y (1) = 2, y (2) = 1}$

дает ${displaystyle alpha = ln (2)}$ и ${displaystyle y = 4e ^ {- ln (2) t} = 2 ^ {2-t}}$.

Неразделимые (неоднородные) линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные неоднородные ОДУ первого порядка (обычные дифференциальные уравнения ) неотделимы. Их можно решить с помощью следующего подхода, известного как интегрирующий фактор метод. Рассмотрим линейные ОДУ первого порядка общего вида:

${displaystyle {frac {dy} {dx}} + p (x) y = q (x)}$

Метод решения этого уравнения основан на специальном интегрирующем множителе: μ:

${displaystyle mu = e ^ {int _ {x_ {0}} ^ {x} p (t), dt}}$

Мы выбрали этот интегрирующий коэффициент, потому что он обладает особым свойством: его производная сама умножается на функцию, которую мы интегрируем, а именно:

${displaystyle {frac {d {mu}} {dx}} = e ^ {int _ {x_ {0}} ^ {x} p (t), dt} cdot p (x) = mu p (x)}$

Умножьте обе части исходного дифференциального уравнения на μ получить:

${displaystyle mu {frac {dy} {dx}} + mu {p (x) y} = mu {q (x)}}$

Из-за особого μ мы выбрали, мы можем заменить dμ/dx за μ п(Икс), упрощая уравнение до:

${displaystyle mu {frac {dy} {dx}} + y {frac {d {mu}} {dx}} = mu {q (x)}}$

С использованием правило продукта наоборот, получаем:

${displaystyle {frac {d} {dx}} {(mu {y})} = mu {q (x)}}$

Объединение обеих сторон:

${displaystyle mu {y} = left (int mu q (x), dxight) + C}$

Наконец, чтобы решить у мы делим обе стороны на ${displaystyle mu}$:

${displaystyle y = {frac {left (int mu q (x), dxight) + C} {mu}}}$

С μ является функцией Икс, мы не можем дальше упрощать напрямую.

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

Простой пример

Предположим, что к пружине прикреплена масса, которая оказывает на массу притягивающую силу. пропорциональный на растяжение / сжатие пружины. На данный момент мы можем игнорировать любые другие силы (сила тяжести, трение, так далее.). Будем писать удлинение пружины по очереди т в качествеИкс(т). Теперь, используя Второй закон Ньютона мы можем написать (используя удобные единицы измерения):

${displaystyle m {frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + kx = 0,}$

куда м масса и k - жесткость пружины, представляющая меру жесткости пружины. Для простоты возьмем m = k В качестве примера.

Если мы будем искать решения, которые имеют вид ${displaystyle Ce ^ {lambda t}}$, куда C константа, мы обнаруживаем связь ${displaystyle lambda ^ {2} + 1 = 0}$, и поэтому ${displaystyle lambda}$ должен быть одним из сложные числа ${displaystyle i}$ или же ${displaystyle -i}$. Таким образом, используя Формула Эйлера можно сказать, что решение должно иметь вид:

${displaystyle x (t) = Acos t + Bsin t}$

См решение к Вольфрам Альфа.

Для определения неизвестных констант А и B, нам нужно первоначальные условия, т.е. равенства, которые определяют состояние системы в данный момент времени (обычнот = 0).

Например, если предположить, что т = 0 расширение - это единичное расстояние (Икс = 1), а частица неподвижна (dx/dt = 0). У нас есть

${displaystyle x (0) = Acos 0 + Bsin 0 = A = 1,}$

и такА = 1.

${displaystyle x '(0) = - Asin 0 + Bcos 0 = B = 0,}$

и так B = 0.

Следовательно Икс(т) = cosт. Это пример простые гармонические колебания.

См решение к вольфрам Альфа.

Более сложная модель

Приведенная выше модель колеблющейся массы на пружине правдоподобна, но не очень реалистична: на практике трение будет иметь тенденцию замедлять массу и иметь величину, пропорциональную ее скорости (т.е.dx/dt). Наше новое дифференциальное уравнение, выражающее баланс ускорения и сил, имеет следующий вид:

${displaystyle m {frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + c {frac {dx} {dt}} + kx = 0,}$

куда ${displaystyle c}$ - коэффициент демпфирования, представляющий трение. Снова ищем решения вида ${displaystyle Ce ^ {lambda t}}$, мы находим, что

${displaystyle mlambda ^ {2} + clambda + k = 0.}$

Это квадратное уровненеие которую мы можем решить. Если ${displaystyle c ^ {2} <4 км}$ есть два комплексно сопряженных корня а ± ib, и решение (с указанными выше граничными условиями) будет выглядеть так:

${displaystyle x (t) = e ^ {at} left (cos bt- {frac {a} {b}} sin btight)}$

Для простоты возьмем ${displaystyle m = 1}$, тогда ${displaystyle 0$ и ${displaystyle k = a ^ {2} + b ^ {2}}$.

Уравнение также может быть решено в символической панели инструментов MATLAB как

Икс = dsolve('D2x + c * Dx + k * x = 0','х (0) = 1','Dx (0) = 0')

хотя решение выглядит довольно некрасиво,

Икс = (c + (c^2 - 4*k)^(1/2))/(2*exp(т*(c/2 - (c^2 - 4*k)^(1/2)/2))*(c^2 - 4*k)^(1/2)) -     (c - (c^2 - 4*k)^(1/2))/(2*exp(т*(c/2 + (c^2 - 4*k)^(1/2)/2))*(c^2 - 4*k)^(1/2))

Это модель затухающий осциллятор. График смещения от времени будет выглядеть так:

что напоминает поведение вибрирующей пружины, когда трение забирает энергию из системы.

Линейные системы ОДУ

Следующий пример линейной системы ОДУ первого порядка

${displaystyle y_ {1} '= y_ {1} + 2y_ {2} + t}$

${displaystyle y_ {2} '= 2y_ {1} -2y_ {2} + sin (t)}$

можно легко решить символически, используя программное обеспечение для численного анализа.

Смотрите также

• Замкнутые и точные дифференциальные формы
• Обыкновенное дифференциальное уравнение
• Дифференциальное уравнение Бернулли

Библиография

• Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений, 2-е издание, Чепмен и Холл /CRC Press, Бока-Ратон, 2003; ISBN  1-58488-297-2.

внешняя ссылка

• Обыкновенные дифференциальные уравнения. в EqWorld: мир математических уравнений.