Число пересечений (теория графов) - Intersection number (graph theory)

В математической области теория графов, то номер перекрестка графа грамм = (V,E) - наименьшее количество элементов в представлении грамм как граф пересечений из конечные множества. Эквивалентно, это наименьшее количество клики необходимо покрыть все края грамм.[1][2]

Графики пересечений

Позволять F быть семейство наборов (позволяя установить в F повторяется); затем граф пересечений из F является неориентированный граф который имеет вершину для каждого члена F и ребро между каждыми двумя элементами, имеющими непустое пересечение. Таким образом, каждый граф можно представить как граф пересечений.[3] Число пересечения графика - наименьшее число k такое, что существует представление этого типа, для которого объединение F имеет k элементы.[1] Проблема нахождения представления пересечения графа с заданным числом элементов известна как базис графа пересечений проблема.[4]

Крышки кромки Clique

График с пересечением номер четыре. Четыре закрашенных области обозначают клики, покрывающие все ребра графа.

Альтернативное определение числа пересечений графа грамм в том, что это наименьшее количество клики в грамм (полный подграфы из грамм), которые вместе покрывают все края грамм.[1][5] Набор клик с этим свойством известен как крышка края клика или же край клика крышка, и по этой причине номер перекрестка также иногда называют номер обложки edge clique.[6]

Равенство числа пересечений и числа краевых кликовых покрытий доказывается несложно. В одном направлении предположим, что грамм граф пересечений семейства F множеств, объединение которых U имеет k элементы. Тогда для любого элемента Икс из U, подмножество вершин грамм соответствующие множествам, которые содержат Икс образует клику: любые две вершины в этом подмножестве смежны, потому что их множества имеют непустое пересечение, содержащее Икс. Далее, каждое ребро в грамм содержится в одной из этих клик, потому что ребро соответствует непустому пересечению, а пересечение непусто, если оно содержит хотя бы один элемент из U. Следовательно, края грамм может быть покрыт k клики, по одной на элемент U. В обратном направлении, если граф грамм может быть покрыт k клик, то каждая вершина грамм может быть представлен набором клик, содержащих эту вершину.[5]

Верхняя граница

Тривиально, граф с м ребра имеют номер пересечения не более м, для каждого ребра образует клику, и эти клики вместе покрывают все ребра.[7]

Также верно, что каждый граф с п вершины имеют номер пересечения не более п2/4. Более того, края каждого п-вершинный граф можно разбить не более чем на п2/4 клики, все из которых представляют собой одиночные ребра или треугольники.[2][5] Это обобщает Теорема Мантеля который граф без треугольников имеет самое большее п2/4 ребер, поскольку в графе без треугольников единственное оптимальное покрытие ребер клики имеет по одной клике на ребро, и поэтому число пересечений равно количеству ребер.[2]

Еще более жесткая граница возможна, когда количество ребер строго больше, чем п2/4. Позволять п - количество пар вершин, не соединенных ребром в данном графе грамм, и разреши т быть единственным целым числом, для которого (т − 1)т ≤ п < т(т + 1). Тогда число пересечения грамм самое большее п + т.[2][8]

Графики, которые являются дополнять из разреженный граф имеют маленькие номера пересечений: номер пересечения любого п-вершинный граф грамм самое большее 2е2(d + 1)2пер п, куда е это основание натурального логарифма и d это максимум степень дополнительного графа грамм.[9]

Вычислительная сложность

Проверка того, является ли данный график грамм имеет номер перекрестка не более заданного числа k является НП-полный.[4][10][11] Следовательно, также NP-сложно вычислить число пересечений данного графа.

Однако проблема вычисления номера пересечения заключается в следующем: управляемый с фиксированными параметрами: то есть есть функция ж такой, что, когда номер пересечения k, время его вычисления - не более чем результат ж(k) и многочлен отп. Это можно показать, заметив, что существует не более 2k отчетливый закрытые районы в графе - две вершины, которые принадлежат одному и тому же набору клик, имеют одинаковую окрестность - и что граф, образованный путем выбора одной вершины для каждого замкнутого соседа, имеет то же число пересечений, что и исходный граф. Следовательно, за полиномиальное время ввод может быть уменьшен до меньшего ядро максимум с 2k вершины; применяя экспоненциальное время возврат процедура поиска этого ядра приводит к функции ж то есть двойная экспонента вk.[12] Двухэкспоненциальная зависимость от k не может быть сведен к единственной экспоненте путем кернелирования полиномиального размера, если только полиномиальная иерархия рушится,[13] и если гипотеза экспоненциального времени верно, то двухэкспоненциальная зависимость необходима независимо от того, используется ли ядро.[14]

Известны также более эффективные алгоритмы для некоторых специальных классов графов. Номер пересечения интервальный график всегда равно его количеству максимальные клики, который может быть вычислен за полиномиальное время.[15][16] В более общем плане в хордовые графы, число пересечений может быть вычислено с помощью алгоритма, который учитывает вершины в порядке исключения графа и что для каждой вершины v, образует клику для v и его более поздних соседей, если хотя бы одно из ребер инцидентно v не охвачен какой-либо более ранней кликой.[16]

Смотрите также

  • Двудольное измерение, наименьшее количество биклик, необходимое для покрытия всех ребер графа
  • Обложка клики, NP-трудная задача поиска небольшого числа клик, покрывающих все вершины графа

Рекомендации

  1. ^ а б c Гросс, Джонатан Л .; Йеллен, Джей (2006), Теория графов и ее приложения, CRC Press, стр. 440, г. ISBN  978-1-58488-505-4.
  2. ^ а б c d Робертс, Фред С. (1985), "Приложения краевых покрытий кликами", Дискретная прикладная математика, 10 (1): 93–109, Дои:10.1016 / 0166-218X (85) 90061-7, МИСТЕР  0770871.
  3. ^ Шпильрайн-Марчевски, E. (1945), "Sur deux propriétés des classes d'ensembles", Фонд. Математика., 33: 303–307, Дои:10.4064 / fm-33-1-303-307, МИСТЕР  0015448.
  4. ^ а б Гарей, Майкл Р.; Джонсон, Дэвид С. (1979), Компьютеры и непреодолимость: руководство по теории NP-полноты, В. Х. Фриман, ISBN  0-7167-1045-5, Проблема GT59.
  5. ^ а б c Эрдеш, Пол; Goodman, A. W .; Поза, Луи (1966), «Представление графа множеством пересечений» (PDF), Канадский математический журнал, 18 (1): 106–112, CiteSeerX  10.1.1.210.6950, Дои:10.4153 / CJM-1966-014-3, МИСТЕР  0186575.
  6. ^ Майкл, Т. С .; Куинт, Томас (2006), "Сферичность, кубичность и краевые кликовые покрытия графов", Дискретная прикладная математика, 154 (8): 1309–1313, Дои:10.1016 / j.dam.2006.01.004.
  7. ^ Балакришнан, В. К. (1997), Очерк теории Шаума и проблемы теории графов, McGraw-Hill Professional, стр. 40, ISBN  978-0-07-005489-9.
  8. ^ Ловас, Л. (1968), «О покрытии графов», в Эрдеш, П.; Катона, Г. (ред.), Материалы коллоквиума, состоявшегося в Тихани, Венгрия, 1966 г., Academic Press, стр. 231–236.. Как цитирует Робертс (1985).
  9. ^ Алон, Нога (1986), «Покрытие графов минимальным числом отношений эквивалентности» (PDF), Комбинаторика, 6 (3): 201–206, Дои:10.1007 / bf02579381.
  10. ^ Орлин, Дж. (1977), «Удовлетворенность в теории графов: покрытие графов кликами», Proc. Кон. Нед. Акад. Смачивать., Серия А, 80 (5): 406–424, Дои:10.1016/1385-7258(77)90055-5. Как цитирует Робертс (1985).
  11. ^ Kou, L.T .; Штокмейер, Л. Дж.; Вонг, К. К. (1978), "Покрытие ребер кликами с учетом конфликтов ключевых слов и графов пересечений", Коммуникации ACM, 21 (2): 135–139, Дои:10.1145/359340.359346.
  12. ^ Грамм, Йенс; Го, Цзюн; Хюффнер, Фальк; Нидермайер, Рольф (2009), «Редукция данных и точные алгоритмы прикрытия кликов» (PDF), Журнал экспериментальной алгоритмики, 13 (2): 2–15, Дои:10.1145/1412228.1412236.
  13. ^ Циган, Марек; Крач, Стефан; Пилипчук, Марцин; Пилипчук, Михал; Вальстрём, Магнус (2012), «Покрытие клики и разделение графа: новые результаты несжимаемости», в Czumaj, Artur; Мельхорн, Курт; Питт, Эндрю; и другие. (ред.), Автоматы, языки и программирование: 39-й международный коллоквиум, ICALP 2012, Уорик, Великобритания, 9-13 июля 2012 г., Труды, часть I, Конспект лекций по информатике, 7391, стр. 254–265, arXiv:1111.0570, Дои:10.1007/978-3-642-31594-7_22, ISBN  978-3-642-31593-0.
  14. ^ Циган, Марек; Пилипчук, Марцин; Пилипчук, Михал (2013), «Известные алгоритмы для EDGE CLIQUE COVER, вероятно, оптимальны», Proc. 24-й симпозиум ACM-SIAM по дискретным алгоритмам (SODA 2013), 45, стр. 67–83, arXiv:1203.1754, Дои:10.1137/130947076.
  15. ^ Opsut, R.J .; Робертс, Ф.С. (1981), «О техническом обслуживании автопарка, мобильной радиочастоте, задачах и проблемах фазирования трафика», в Chartrand, G .; Alavi, Y .; Goldsmith, D. L .; Лесняк-Фостер, Л .; Лик, Д. Р. (ред.), Теория и приложения графов, New York: Wiley, pp. 479–492.. Как цитирует Робертс (1985).
  16. ^ а б Шайнерман, Эдвард Р.; Тренк, Энн Н. (1999), «О дробном числе пересечений графа», Графы и комбинаторика, 15 (3): 341–351, Дои:10.1007 / s003730050068.

внешняя ссылка