Межвременной CAPM - Intertemporal CAPM

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом. Пожалуйста помоги улучшить статью от обеспечение большего контекста для читателя. (Октябрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Межвременной CAPM»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Август 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Модель ценообразования межвременных капитальных активов, или ICAPM, является альтернативой CAPM предоставленный Роберт Мертон. Это линейная факторная модель с богатством в качестве переменной состояния, которая прогнозирует изменения в распределении будущих доходов. возвращается или доход.

В ICAPM инвесторы принимают решения о потреблении на протяжении всего срока службы, когда сталкиваются с более чем одной неопределенностью. Основное различие между ICAPM и стандартным CAPM заключается в дополнительных переменных состояния, которые подтверждают тот факт, что инвесторы хеджировать от дефицита потребления или от изменений в будущем вложение набор возможностей.

Версия с непрерывным временем

Мертон^[1] рассматривает рынок с непрерывным временем в равновесии. переменная состояния (X) следует за Броуновское движение:

${displaystyle dX = mu dt + sdZ}$

Инвестор максимизирует свои Утилита фон Неймана – Моргенштерна:

${displaystyle E_ {o} left {int _ {o} ^ {T} U [C (t), t] dt + B [W (T), T] ight}}$

где T - временной горизонт, а B [W (T), T] - полезность от богатства (W).

У инвестора есть следующее ограничение на богатство (W). Позволять ${displaystyle w_ {i}}$ быть весом, инвестированным в актив i. Потом:

${displaystyle W (t + dt) = [W (t) -C (t) dt] сумма _ {i = 0} ^ {n} w_ {i} [1 + r_ {i} (t + dt)]}$

где ${displaystyle r_ {i}}$ - это доходность актива I. Изменение богатства:

${displaystyle dW = -C (t) dt + [W (t) -C (t) dt] сумма w_ {i} (t) r_ {i} (t + dt)}$

Мы можем использовать динамическое программирование решить проблему. Например, если мы рассмотрим серию задач с дискретным временем:

${displaystyle max E_ {0} left {sum _ {t = 0} ^ {T-dt} int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds + B [W (T) ,Плотно}}$

Потом Расширение Тейлора дает:

${displaystyle int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds = U [C (t), t] dt + {frac {1} {2}} U_ {t} [C ( t ^ {*}), t ^ {*}] dt ^ {2} приблизительно U [C (t), t] dt}$

где ${displaystyle t ^ {*}}$ - значение от t до t + dt.

Предполагая, что возврат следует за Броуновское движение:

${displaystyle r_ {i} (t + dt) = alpha _ {i} dt + sigma _ {i} dz_ {i}}$

с участием:

${displaystyle E (r_ {i}) = alpha _ {i} dtquad; quad E (r_ {i} ^ {2}) = var (r_ {i}) = sigma _ {i} ^ {2} dtquad; quad cov (r_ {i}, r_ {j}) = sigma _ {ij} dt}$

Затем отмена условий второго и выше порядка:

${displaystyle dWapprox [W (t) сумма w_ {i} альфа _ {i} -C (t)] dt + W (t) сумма w_ {i} sigma _ {i} dz_ {i}}$

С помощью Уравнение беллмана, мы можем повторить проблему:

${displaystyle J (W, X, t) = max; E_ {t} left {int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds + J [W (t + dt), X (t + dt), t + dt] ight}}$

при условии ограничения богатства, указанного ранее.

С помощью Лемма Ито мы можем переписать:

${displaystyle dJ = J [W (t + dt), X (t + dt), t + dt] -J [W (t), X (t), t + dt] = J_ {t} dt + J_ { W} dW + J_ {X} dX + {frac {1} {2}} J_ {XX} dX ^ {2} + {frac {1} {2}} J_ {WW} dW ^ {2} + J_ {WX } dXdW}$

и ожидаемое значение:

${displaystyle E_ {t} J [W (t + dt), X (t + dt), t + dt] = J [W (t), X (t), t] + J_ {t} dt + J_ { W} E [dW] + J_ {X} E (dX) + {frac {1} {2}} J_ {XX} var (dX) + {frac {1} {2}} J_ {WW} var [dW ] + J_ {WX} cov (dX, dW)}$

После некоторой алгебры^[2], имеем следующую целевую функцию:

${displaystyle maxleft {U (C, t) + J_ {t} + J_ {W} W [сумма _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} (альфа _ {i} -r_ {f}) + r_ {f}] - J_ {W} C + {frac {W ^ {2}} {2}} J_ {WW} sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {i} w_ {j} sigma _ {ij} + J_ {X} mu + {frac {1} {2}} J_ {XX} s ^ {2} + J_ {WX} Wsum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} sigma _ {iX} ight}}$

где ${displaystyle r_ {f}}$ безрисковый возврат. Условия первого заказа:

${displaystyle J_ {W} (alpha _ {i} -r_ {f}) + J_ {WW} Wsum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} ^ {*} sigma _ {ij} + J_ { WX} sigma _ {iX} = 0quad i = 1,2, ldots, n}$

В матричной форме мы имеем:

${displaystyle (alpha -r_ {f} {mathbf {1}}) = {frac {-J_ {WW}} {J_ {W}}} Omega w ^ {*} W + {frac {-J_ {WX}} { J_ {W}}} cov_ {rX}}$

где ${displaystyle alpha}$ вектор ожидаемой доходности, ${displaystyle Omega}$ то ковариационная матрица возвратов, ${displaystyle {mathbf {1}}}$ вектор единства ${displaystyle cov_ {rX}}$ ковариация между доходами и переменной состояния. Оптимальный вес:

${displaystyle {mathbf {w} ^ {*}} = {frac {-J_ {W}} {J_ {WW} W}} Omega ^ {- 1} (alpha -r_ {f} {mathbf {1}}) - {frac {J_ {WX}} {J_ {WW} W}} Omega ^ {- 1} cov_ {rX}}$

Обратите внимание, что межвременная модель предоставляет те же веса CAPM. Ожидаемый доход можно выразить следующим образом:

${displaystyle alpha _ {i} = r_ {f} + eta _ {im} (alpha _ {m} -r_ {f}) + eta _ {ih} (alpha _ {h} -r_ {f})}$

где m - рыночный портфель, а h - портфель для хеджирования переменной состояния.

Смотрите также

• Выбор межвременного портфеля

использованная литература

• Мертон Р.С. (1973), Модель ценообразования межвременных капитальных активов. Econometrica 41, Vol. 41, No. 5. (сентябрь 1973 г.), стр. 867–887
• «Эффективность многофакторного портфеля и многофакторное ценообразование активов» Юджина Ф. Фама, (Журнал финансового и количественного анализа), Т. 31, No. 4, декабрь 1996 г.