Теорема Ионеску-Тулча - Википедия - Ionescu-Tulcea theorem

В математической теория вероятности, то Теорема Ионеску-Тулча, иногда называемый Теорема Ионеско Тулча о продолжении имеет дело с существованием вероятностные меры для вероятностных событий, состоящих из счетного бесконечного числа отдельных вероятностных событий. В частности, отдельные события могут быть независимый или зависимы друг от друга. Таким образом, утверждение выходит за рамки простого существования счетных меры продукта. Теорема была доказана Кассий Ионеску-Тулча в 1949 г.^[1][2]

Формулировка теоремы

Предположим, что ${ displaystyle ( Omega _ {0}, { mathcal {A}} _ {0}, P_ {0})}$ это вероятностное пространство и ${ displaystyle ( Omega _ {i}, { mathcal {A}} _ {i})}$ за ${ Displaystyle я в mathbb {N}}$ это последовательность измерять пространства. Для каждого ${ Displaystyle я в mathbb {N}}$ позволять

${ displaystyle kappa _ {i} двоеточие ( Omega ^ {i-1}, { mathcal {A}} ^ {i-1}) to ( Omega _ {i}, { mathcal {A }}_{я})}$

быть Марковское ядро происходит от ${ displaystyle ( Omega ^ {i-1}, { mathcal {A}} ^ {i-1})}$ и ${ displaystyle ( Omega _ {i}, { mathcal {A}} _ {i}),}$, куда

${ displaystyle Omega ^ {i}: = prod _ {k = 0} ^ {i} Omega _ {k} { text {and}} { mathcal {A}} ^ {i}: = bigotimes _ {k = 0} ^ {i} { mathcal {A}} _ {k}.}$

Тогда существует последовательность вероятностных мер

${ displaystyle P_ {i}: = P_ {0} otimes bigotimes _ {k = 1} ^ {i} kappa _ {k}}$ определено в пространстве продукта для последовательности ${ displaystyle ( Omega ^ {i}, { mathcal {A}} ^ {i})}$, ${ Displaystyle я в mathbb {N},}$

и существует однозначно определенная вероятностная мера ${ displaystyle P}$ на ${ displaystyle left ( prod _ {k = 0} ^ { infty} Omega _ {k}, bigotimes _ {k = 0} ^ { infty} { mathcal {A}} _ {k} верно)}$, так что

${ Displaystyle P_ {я} (A) = P left (A times prod _ {k = i + 1} ^ { infty} Omega _ {k} right)}$

удовлетворяется для каждого ${ displaystyle A in { mathcal {A}} ^ {i}}$ и ${ Displaystyle я в mathbb {N}}$. (Мера ${ displaystyle P}$ имеет условные вероятности равно стохастическим ядрам.)^[3]

Приложения

Конструкция, использованная при доказательстве теоремы Ионеску-Тулча, часто используется в теории Марковские процессы принятия решений, и, в частности, теория Цепи Маркова.^[3]

Источники

• Кленке, Ахим (2013). Wahrscheinlichkeitstheorie (3-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. С. 292–294. Дои:10.1007/978-3-642-36018-3. ISBN  978-3-642-36017-6.
• Кусолич, Норберт (2014). Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung (2-е изд.). Берлин; Гейдельберг: Springer-Verlag. С. 169–171. Дои:10.1007/978-3-642-45387-8. ISBN  978-3-642-45386-1.

Рекомендации