Изохрон - Isochron

В математической теории динамические системы, изохрон представляет собой набор начальных условий для системы, которые все приводят к одинаковому долгосрочному поведению.^[1][2]

Математическая изохрона

Вводный пример

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение для решения ${displaystyle y (t)}$ эволюционирует во времени:

${displaystyle {frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + {frac {dy} {dt}} = 1}$

Этот обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE) нужно два первоначальные условия в, скажем, время ${displaystyle t = 0}$. Обозначим первоначальные условия к ${displaystyle y (0) = y_ {0}}$ и ${displaystyle dy / dt (0) = y '_ {0}}$ куда ${displaystyle y_ {0}}$ и ${displaystyle y '_ {0}}$ некоторые параметры. Следующее рассуждение показывает, что изохроны для этой системы представляют собой прямые линии ${displaystyle y_ {0} + y '_ {0} = {mbox {constant}}}$.

Общее решение вышеупомянутого ОДУ:

${displaystyle y = t + A + Bexp (-t)}$

Теперь, когда время увеличивается, ${displaystyle to infty}$, экспоненциальные члены очень быстро убывают до нуля (экспоненциальный спад ). Таким образом все решения ODE быстро подходят ${displaystyle y o t + A}$. То есть, все решения с тем же ${displaystyle A}$ имеют такую ​​же долгосрочную эволюцию. В экспоненциальный спад из ${displaystyle Bexp (-t)}$ срок объединяет множество решений, разделяющих одну и ту же долгосрочную эволюцию. Найдите изохроны, ответив, какие начальные условия имеют одинаковые ${displaystyle A}$.

В начальное время ${displaystyle t = 0}$ у нас есть ${displaystyle y_ {0} = A + B}$ и ${displaystyle y '_ {0} = 1-B}$. Алгебраически исключить нематериальную константу ${displaystyle B}$ из этих двух уравнений, чтобы вывести, что все начальные условия ${displaystyle y_ {0} + y '_ {0} = 1 + A}$ имеют то же самое ${displaystyle A}$, следовательно, такая же долговременная эволюция и, следовательно, образуют изохрону.

Для точного прогнозирования необходимы изохроны

Обратимся к более интересному применению понятия изохрон. Изохроны возникают при попытке прогнозирования прогнозов на основе моделей динамических систем. Рассмотрим игрушечную систему из двух спаренных обыкновенные дифференциальные уравнения

${displaystyle {frac {dx} {dt}} = - xy {ext {and}} {frac {dy} {dt}} = - y + x ^ {2} -2y ^ {2}}$

Замечательный математический трюк - нормальная форма (математика) трансформация.^[3] Здесь преобразование координат вблизи начала координат

${displaystyle x = X + XY + cdots {ext {and}} y = Y + 2Y ^ {2} + X ^ {2} + cdots}$

к новым переменным ${displaystyle (X, Y)}$ преобразует динамику в разделенную форму

${displaystyle {frac {dX} {dt}} = - X ^ {3} + cdots {ext {and}} {frac {dY} {dt}} = (- 1-2X ^ {2} + cdots) Y}$

Следовательно, вблизи начала координат ${displaystyle Y}$ спадает до нуля экспоненциально быстро, так как его уравнение ${displaystyle dY / dt = ({ext {negative}}) Y}$. Таким образом, долгосрочная эволюция определяется исключительно ${displaystyle X}$: the ${displaystyle X}$ уравнение - это модель.

Давайте использовать ${displaystyle X}$ уравнение для предсказания будущего. Учитывая некоторые начальные значения ${displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ исходных переменных: какое начальное значение мы должны использовать для ${displaystyle X (0)}$? Ответ: ${displaystyle X_ {0}}$ который имеет такую ​​же долгосрочную эволюцию. В приведенной выше нормальной форме ${displaystyle X}$ развивается независимо от ${displaystyle Y}$. Итак, все начальные условия с одинаковыми ${displaystyle X}$, но разные ${displaystyle Y}$, имеют такую ​​же долгосрочную эволюцию. Исправить ${displaystyle X}$ и варьировать ${displaystyle Y}$ дает искривленные изохроны в ${displaystyle (x, y)}$ самолет. Например, очень близко к началу координат изохроны указанной выше системы примерно соответствуют линиям ${displaystyle x-Xy = X-X ^ {3}}$. Найдите изохрону начальных значений ${displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ лежать: эта изохрона характеризуется некоторыми ${displaystyle X_ {0}}$; тогда начальное условие, которое дает правильный прогноз модели на все времена, тогда ${displaystyle X (0) = X_ {0}}$.

Вы можете найти такие преобразования нормальной формы для относительно простых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, как детерминированных, так и стохастических, на интерактивном веб-сайте.[1]

Рекомендации