Неравенство Джексона - Википедия - Jacksons inequality

В теория приближения, Неравенство Джексона - неравенство, ограничивающее значение наилучшего приближения функции соотношением алгебраический или же тригонометрические полиномы с точки зрения модуль непрерывности или же модуль гладкости функции или ее производных.^[1] Неформально говоря, чем плавнее функция, тем лучше ее можно аппроксимировать полиномами.

Утверждение: тригонометрические полиномы

Для тригонометрических полиномов следующее доказано Данэм Джексон:

Теорема 1.: Если ${ displaystyle f: [0,2 pi] to mathbb {C}}$ является ${ displaystyle r}$ раз дифференцируемый периодическая функция такой, что

${ Displaystyle влево | е ^ {(г)} (х) вправо | Leq 1, qquad х в [0,2 пи],}$

тогда для каждого положительного целого числа ${ displaystyle n}$, существует тригонометрический полином ${ displaystyle T_ {n-1}}$ степени не более ${ displaystyle n-1}$ такой, что

${ displaystyle left | е (х) -T_ {n-1} (x) right | leq { frac {C (r)} {n ^ {r}}}, qquad x in [0 , 2 pi],}$

куда ${ displaystyle C (r)}$ зависит только от ${ displaystyle r}$.

В Ахиезер –Крейн –Фавард теорема дает резкое значение ${ displaystyle C (r)}$ (называется Константа Ахиезера – Крейна – Фавара ):

${ Displaystyle C (r) = { frac {4} { pi}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k (r + 1)}} {(2k + 1) ^ {r + 1}}} ~.}$

Джексон также доказал следующее обобщение теоремы 1:

Теорема 2.: Можно найти тригонометрический полином ${ displaystyle T_ {n}}$ степени ${ Displaystyle Leq п}$ такой, что

${ Displaystyle | е (х) -T_ {п} (х) | leq { гидроразрыва {С (г) омега влево ({ гидроразрыва {1} {п}}, е ^ {(г)} right)} {n ^ {r}}}, qquad x in [0,2 pi],}$

куда ${ displaystyle omega ( delta, g)}$ обозначает модуль непрерывности функции ${ displaystyle g}$ с шагом ${ displaystyle delta.}$

Еще более общий результат четырех авторов можно сформулировать в виде следующей теоремы Джексона.

Теорема 3.: Для каждого натурального числа ${ displaystyle n}$, если ${ displaystyle f}$ является ${ displaystyle 2 pi}$-периодической непрерывной функции существует тригонометрический полином ${ displaystyle T_ {n}}$ степени ${ displaystyle leq n}$ такой, что

${ Displaystyle | е (х) -T_ {п} (х) | Leq c (k) omega _ {k} left ({ tfrac {1} {n}}, f right), qquad x in [0,2 pi],}$

где постоянная ${ displaystyle c (k)}$ зависит от ${ Displaystyle к в mathbb {N},}$ и ${ displaystyle omega _ {k}}$ это ${ displaystyle k}$-й порядок модуль гладкости.

За ${ displaystyle k = 1}$ этот результат был доказан Данхэмом Джексоном. Антони Зигмунд доказал неравенство в случае, когда ${ Displaystyle к = 2, omega _ {2} (т, е) leq ct, т> 0}$ в 1945 г. Наум Ахиезер доказал теорему в случае ${ displaystyle k = 2}$ в 1956 г. ${ displaystyle k> 2}$ этот результат был установлен Сергей Стечкин в 1967 г.

Дальнейшие замечания

Обобщения и расширения называются теоремами типа Джексона. Обратное неравенству Джексона дает Теорема Бернштейна. Смотрите также теория конструктивных функций.

Рекомендации

внешняя ссылка

• Корнейчук, Н.П .; Моторный, В. (2001) [1994], "Неравенство Джексона", Энциклопедия математики, EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Джексона». MathWorld.

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.