Неравенство Джексона - Википедия - Jacksons inequality

В теория приближения, Неравенство Джексона - неравенство, ограничивающее значение наилучшего приближения функции соотношением алгебраический или же тригонометрические полиномы с точки зрения модуль непрерывности или же модуль гладкости функции или ее производных.[1] Неформально говоря, чем плавнее функция, тем лучше ее можно аппроксимировать полиномами.

Утверждение: тригонометрические полиномы

Для тригонометрических полиномов следующее доказано Данэм Джексон:

Теорема 1.: Если является раз дифференцируемый периодическая функция такой, что
тогда для каждого положительного целого числа , существует тригонометрический полином степени не более такой, что
куда зависит только от .

В АхиезерКрейнФавард теорема дает резкое значение (называется Константа Ахиезера – Крейна – Фавара ):

Джексон также доказал следующее обобщение теоремы 1:

Теорема 2.: Можно найти тригонометрический полином степени такой, что
куда обозначает модуль непрерывности функции с шагом

Еще более общий результат четырех авторов можно сформулировать в виде следующей теоремы Джексона.

Теорема 3.: Для каждого натурального числа , если является -периодической непрерывной функции существует тригонометрический полином степени такой, что
где постоянная зависит от и это -й порядок модуль гладкости.

За этот результат был доказан Данхэмом Джексоном. Антони Зигмунд доказал неравенство в случае, когда в 1945 г. Наум Ахиезер доказал теорему в случае в 1956 г. этот результат был установлен Сергей Стечкин в 1967 г.

Дальнейшие замечания

Обобщения и расширения называются теоремами типа Джексона. Обратное неравенству Джексона дает Теорема Бернштейна. Смотрите также теория конструктивных функций.

Рекомендации

  1. ^ Ахизер, Н. (1956). Теория приближения. Нью-Йорк: Frederick Ungar Publishing Co.

внешняя ссылка