Расширение Якоби – Гнева - Jacobi–Anger expansion

В математика, то Расширение Якоби – Гнева (или же Якоби-Энгер идентичность) является разложением экспонент тригонометрические функции в основе их гармоник. Это полезно в физике (например, для конвертировать между плоские волны и цилиндрические волны ), И в обработка сигналов (описать FM сигналы). Эта личность названа в честь математиков XIX века. Карл Якоби и Карл Теодор Гнев.

Самую общую идентичность дают:^[1][2]

${ Displaystyle е ^ {iz соз тета} экв сумма _ {п = - infty} ^ { infty} я ^ {п} , J_ {п} (г) , е ^ {в theta},}$

куда ${ Displaystyle J_ {п} (г)}$ это ${ displaystyle n}$-го Функция Бесселя первого рода и ${ displaystyle i}$ это мнимая единица, ${ textstyle i ^ {2} = - 1.}$ Подстановка ${ textstyle theta}$ к ${ textstyle theta - { frac { pi} {2}}}$, мы также получаем:

${ displaystyle e ^ {iz sin theta} Equiv sum _ {n = - infty} ^ { infty} J_ {n} (z) , e ^ {in theta}.}$

Используя соотношение ${ Displaystyle J _ {- n} (z) = (- 1) ^ {n} , J_ {n} (z),}$ действительно для целого числа ${ displaystyle n}$, расширение становится:^[1][2]

${ Displaystyle е ^ {iz соз тета} экви J_ {0} (г) , + , 2 , сумма _ {п = 1} ^ { infty} , я ^ {п} , J_ {n} (z) , cos , (n theta).}$

Выражения с действительным знаком

Также часто могут быть полезны следующие варианты с действительным знаком:^[3]

${ Displaystyle { begin {выровнено} соз (г соз тета) & эквив J_ {0} (г) +2 сумма _ {п = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {п } J_ {2n} (z) cos (2n theta), sin (z cos theta) & Equiv -2 sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} J_ {2n-1} (z) cos left [ left (2n-1 right) theta right], cos (z sin theta) & Equiv J_ {0} (z) +2 sum _ {n = 1} ^ { infty} J_ {2n} (z) cos (2n theta), sin (z sin theta) & Equ 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} J_ {2n-1} (z) sin left [ left (2n-1 right) theta right]. end {выравнивается}}}$

Смотрите также

• Расширение плоской волны

Примечания

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 9». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972); первое изд.) Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 355. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Колтон, Дэвид; Кресс, Райнер (1998), Обратная теория акустического и электромагнитного рассеяния, Прикладные математические науки, 93 (2-е изд.), ISBN  978-3-540-62838-5
• Кейт, Энни; Петерсен, Вигдис; Вердонк, Бриджит; Ваадленд, Хокон; Джонс, Уильям Б. (2008), Справочник по непрерывным дробям для специальных функций, Спрингер, ISBN  978-1-4020-6948-2

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Расширение Якоби – Гнева». MathWorld - веб-ресурс Wolfram. Получено 2008-11-11.