Расширение плоской волны - Википедия - Plane wave expansion

В физика, то расширение плоской волны выражает плоская волна как линейная комбинация из сферические волны,

{ displaystyle e ^ {я mathbf {k} cdot mathbf {r}} = sum _ { ell = 0} ^ { infty} (2 ell +1) i ^ { ell} j_ { ell} (kr) P _ { ell} ({ hat { mathbf {k}}} cdot { hat { mathbf {r}}}),}

куда

$я$ это мнимая единица,
$k$ это волновой вектор длины $k$ ,
$р$ это вектор положения длины $р$ ,
$j ℓ$ находятся сферические функции Бесселя,
$п ℓ$ находятся Полиномы Лежандра, и
шляпа $^$ обозначает единичный вектор.

В частном случае, когда $k$ согласуется с z-ось,

{ displaystyle e ^ {ikr cos theta} = sum _ { ell = 0} ^ { infty} (2 ell +1) i ^ { ell} j _ { ell} (kr) P_ { ell} ( cos theta),}

куда $θ$ это сферический полярный угол из $р$ .

Разложение по сферическим гармоникам

С теорема сложения сферических гармоник уравнение можно переписать как

{ Displaystyle е ^ {я mathbf {k} cdot mathbf {r}} = 4 pi sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell} i ^ { ell} j _ { ell} (kr) Y _ { ell} ^ {m} {} ({ hat { mathbf {k}}}) Y _ { ell} ^ {m * } ({ hat { mathbf {r}}}),}

куда

$Y ℓ м$ являются сферические гармоники и
верхний индекс $*$ обозначает комплексное сопряжение.

Обратите внимание, что комплексное сопряжение между двумя сферическими гармониками можно менять местами из-за симметрии.

Приложения

Разложение плоской волны применяется в

Смотрите также

Уравнение Гельмгольца
Метод расширения плоской волны в вычислительном электромагнетизме
Расширение Вейля

Рекомендации

Электронная библиотека математических функций, уравнение 10.60.7, Национальный институт стандартов и технологий
Рами Мехрем (2009), Расширение плоской волны, бесконечные интегралы и тождества, содержащие сферические функции Бесселя, arXiv:0909.0494, Bibcode:2009arXiv0909.0494M