Метод расширения плоской волны - Plane wave expansion method

Метод расширения плоской волны (PWE) относится к вычислительной технике в электромагнетизм решить Уравнения Максвелла сформулировав собственное значение проблема вне уравнения. Этот метод популярен среди фотонный кристалл сообщества как метод решения ленточная структура (дисперсионное соотношение) конкретной геометрии фотонного кристалла. PWE прослеживается до аналитических формулировок и полезен при вычислении модальных решений уравнений Максвелла для неоднородной или периодической геометрии. Он специально настроен для решения задач в гармонической форме по времени, с недисперсионный средства массовой информации.

Принципы

^{[сомнительный – обсуждать]}

Плоские волны являются решениями однородной Уравнение Гельмгольца, и формируют основу для представления полей в периодической среде. PWE применительно к фотонным кристаллам, как описано, в основном взят из учебника доктора Даннера.^[1]

Электрические или магнитные поля расширяются для каждой компоненты поля с точки зрения Ряд Фурье компоненты вдоль вектора обратной решетки. Точно так же диэлектрическая проницаемость (которая периодична вдоль вектора обратной решетки для фотонных кристаллов) также расширяется через компоненты ряда Фурье.

${displaystyle {frac {1} {epsilon _ {r}}} = sum _ {m = -infty} ^ {+ infty} K_ {m} ^ {epsilon _ {r}} e ^ {- i {vec {G }}. {vec {r}}}}$

${displaystyle E (omega, {vec {r}}) = sum _ {n = -infty} ^ {+ infty} K_ {n} ^ {E_ {y}} e ^ {- i {vec {G}}. {vec {r}}} e ^ {- i {vec {k}} {vec {r}}}}$

с коэффициентами ряда Фурье, представляющими собой числа K с индексами m, n соответственно, а обратная решетка вектор данный ${displaystyle {vec {G}}}$. В реальном моделировании круг рассматриваемых компонентов будет сокращен до ${displaystyle pm Nmax}$ вместо идеальной, бесконечной волны.

Используя эти разложения в любом из отношений локона-локона, например,

${displaystyle {frac {1} {epsilon ({vec {r}})}} abla imes abla imes E ({vec {r}}, omega) = left ({frac {omega} {c}} ight) ^ { 2} E ({vec {r}}, омега)}$

и упрощая в предположении отсутствия источника, линейной и недисперсионной области, получаем собственное значение отношения, которые можно решить.

Пример для одномерного случая

Для y-поляризованной z-распространяющейся электрической волны, падающей на 1D-DBR, периодическую только в z-направлении и однородную по x, y, с периодом решетки a. Тогда у нас есть следующие упрощенные отношения:

Зонная структура одномерного фотонного кристалла, воздушное ядро ​​РБО, рассчитанное с использованием метода расширения плоских волн с 101 плоской волной, для d / a = 0,8 и диэлектрического контраста 12,250.

${displaystyle {frac {1} {epsilon _ {r}}} = sum _ {m = -infty} ^ {+ infty} K_ {m} ^ {epsilon _ {r}} e ^ {- i {frac {2pi) m} {a}} z}}$

${displaystyle E (omega, {vec {r}}) = sum _ {n = -infty} ^ {+ infty} K_ {n} ^ {E_ {y}} e ^ {- i {frac {2pi n} { a}} z} e ^ {- i {vec {k}} {vec {r}}}}$

Основное собственное уравнение, которое мы наконец должны решить, принимает вид

${displaystyle sum _ {n} {left ({frac {2pi n} {a}} + k_ {z} ight) left ({frac {2pi m} {a}} + k_ {z} ight) K_ {mn} ^ {эпсилон _ {r}} K_ {n} ^ {E_ {y}}} = {frac {omega ^ {2}} {c ^ {2}}} K_ {m} ^ {E_ {y}}}$

Это можно решить, построив матрицу для членов в левой части и найдя ее собственное значение и векторы. Собственные значения соответствуют модальным решениям, а сами соответствующие магнитные или электрические поля могут быть построены с использованием разложений Фурье. В коэффициенты гармоник поля получаются из конкретных собственных векторов.

Результирующая зонная структура, полученная с помощью собственных мод этой структуры, показана справа.

Пример кода

Мы можем использовать следующий код в Matlab или же GNU Octave чтобы вычислить ту же ленточную структуру,

%% решает структуру фотонной зоны DBR для простого% 1D DBR. воздушный интервал d, периодичность a, то есть a> d,% мы предполагаем бесконечный набор одномерных чередующихся слоев eps_r | воздуха% y-поляризованной, z-направленной плоской волны, падающей на стопку%, периодической в ​​z-направлении; %% parametersd = 8; % воздушный зазорa = 10; % общей периодичностиd_over_a = d / a; eps_r = 12.2500; % диэлектрической проницаемости, как и для GaAs,% max коэффициентов FS для представления поля E и Eps (r), составляют Mmax = 50; матрица% Q в этом случае несимметрична, Qij! = Qji% Qmn = (2 * pi * n + Kz) ^ 2 * Km-n% Kn = delta_n / eps_r + (1 - 1 / eps_r) (d / a) sinc (pi.nd / a)% здесь n изменяется от -Mmax до + Mmax, freqs = [ ]; для Kz = -pi / a: pi / (10 * a): + pi / a Q = нули (2 * Mmax + 1); для x = 1: 2 * Mmax + 1 для y = 1: 2 * Mmax + 1 X = x-Mmax; Y = y-Mmax; kn = (1 -1 / eps_r) * d_over_a. * sinc ((X-Y). * d_over_a) + ((X-Y) == 0) * 1 / eps_r; Q (x, y) = (2 * pi * (Y-1) / a + Kz). ^ 2 * kn;% -Mmax <= (Y-1) <= Mmax end end fprintf ('Kz =% g ', Kz) omega_c = eig (Q); omega_c = sort (sqrt (omega_c));% важный шаг. freqs = [freqs; omega_c. ']; endclose () figure () hold onidx = 1; для idx = 1: length (-pi / a: pi / (10 * a): + pi / a) plot (-pi / a: pi / (10 * a): + pi / a, freqs (:, idx), '.-') end hold offxlabel ('Kz') ylabel ('omega / c') title (sprintf ('PBG of 1D DBR with d / a =% g, Epsr =% g ', d / a, eps_r))

Преимущества

Расширения PWE - это строгие решения. PWE очень хорошо подходит для модального решения проблемы. Проблемы большого размера могут быть решены с использованием итерационных методов, таких как Метод сопряженных градиентов Как для обобщенных, так и для нормальных задач на собственные значения требуется всего несколько графиков полосных индексов на диаграммах полосовой структуры, обычно лежащих на края зоны бриллюэна. Это соответствует решениям по собственным модам с использованием итерационных методов, в отличие от диагонализации всей матрицы.

PWEM очень эффективен для расчета мод в периодических диэлектрических структурах. Будучи методом пространства Фурье, он страдает Феномен Гиббса и медленная сходимость в некоторой конфигурации, когда не используется быстрая факторизация Фурье. Это предпочтительный метод расчета зонной структуры фотонных кристаллов. Сначала это непросто понять, но легко реализовать.

Недостатки

^{[сомнительный – обсуждать]}

Иногда появляются ложные режимы. Большие проблемы масштабируются как На³), с числом используемых в задаче плоских волн (n). Это занимает много времени и требует много памяти.

Альтернативы включают спектральный метод порядка N и методы, использующие Конечная разность во временной области (FDTD), которые проще, и моделируют переходные процессы.

При правильной реализации можно избежать ложных решений. Он менее эффективен при высоком контрасте индекса или при включении металлов. Его нельзя использовать для анализа рассеяния.

Явление Гиббса, являющееся методом пространства Фурье, влияет на точность метода. Это особенно проблематично для устройств с высоким диэлектрическим контрастом.

Смотрите также

• Фотонный кристалл
• Вычислительная электромагнетизм
• Метод конечных разностей во временной области
• Метод конечных элементов
• Уравнения Максвелла
• См. Главу 5 в Разработка и оптимизация нанооптических элементов путем связывания изготовления с оптическим поведением
• Метод расширения плоских волн (см. И послушайте лекции 17 и 18)
• Плакат лаборатории EM о PWEM

Рекомендации