Преобразование Якоби - Википедия - Jacobi transform

В математике Преобразование Якоби является интегральное преобразование назван в честь математика Карл Густав Джейкоб Якоби, который использует Многочлены Якоби ${ Displaystyle P_ {п} ^ { альфа, бета} (х)}$ как ядра преобразования.^[1][2][3][4]

Преобразование Якоби функции ${ Displaystyle F (х)}$ является^[5]

${ Displaystyle J {F (x) } = f ^ { alpha, beta} (n) = int _ {- 1} ^ {1} (1-x) ^ { alpha} (1 + x) ^ { beta} P_ {n} ^ { alpha, beta} (x) F (x) dx}$

Обратное преобразование Якоби дается формулой

${ displaystyle J ^ {- 1} {f ^ { alpha, beta} (n) } = F (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} { delta _ {n}}} f ^ { alpha, beta} (n) P_ {n} ^ { alpha, beta} (x), quad { text {where}} quad delta _ {n} = { frac {2 ^ { alpha + beta +1} Gamma (n + alpha +1) Gamma (n + beta +1)} {n! ( alpha + beta + 2n +1) Gamma (n + alpha + beta +1)}}}$

Некоторые пары преобразований Якоби

${ Displaystyle F (х) ,}$	${ Displaystyle е ^ { альфа, бета} (п) ,}$
${ Displaystyle х ^ {м}, м <п ,}$	${ displaystyle 0}$
${ Displaystyle х ^ {п} ,}$	${ Displaystyle п! ( альфа + бета + 2n + 1) дельта _ {п}}$
${ Displaystyle Р_ {м} ^ { альфа, бета} (х) ,}$	${ displaystyle delta _ {n} delta _ {mn}}$
${ Displaystyle (1 + х) ^ {а- бета} ,}$	${ displaystyle { binom {n + alpha} {n}} 2 ^ { alpha + a + 1} { frac { Gamma (a + 1) Gamma ( alpha +1) Gamma (a- бета +1)} { Gamma ( alpha + a + n + 2) Gamma (a- beta + n + 1)}}}$
${ Displaystyle (1-х) ^ { сигма - альфа}, Re sigma> -1 ,}$	${ displaystyle { frac {2 ^ { sigma + beta +1}} {n! Gamma ( alpha - sigma)}} { frac { Gamma ( sigma +1) Gamma (n + бета +1) Gamma ( alpha - sigma + n)} { Gamma ( beta + sigma + n + 2)}}}$
${ displaystyle (1-x) ^ { sigma - beta} P_ {m} ^ { alpha, sigma} (x), Re sigma> -1 ,}$	${ displaystyle { frac {2 ^ { alpha + sigma +1}} {m! (nm)!}} { frac { Gamma (n + alpha +1) Gamma ( alpha + beta + m + n + 1) Gamma ( sigma + m + 1) Gamma ( alpha - beta +1)} { Gamma ( alpha + beta + n + 1) Gamma ( alpha + sigma + m + n + 2) Gamma ( alpha - beta + m + 1)}}}$
${ displaystyle 2 ^ { alpha + beta} Q ^ {- 1} (1-z + Q) ^ {- alpha} (1 + z + Q) ^ {- beta}, Q = (1 -2xz + z ^ {2}) ^ {1/2}, | z | <1 ,}$	${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} дельта _ {п} г ^ {п}}$
${ displaystyle (1-x) ^ {- alpha} (1 + x) ^ {- beta} { frac {d} {dx}} left [(1-x) ^ { alpha +1} (1 + x) ^ { beta +1} { frac {d} {dx}} right] F (x) ,}$	${ Displaystyle -n (п + альфа + бета +1) е ^ { альфа, бета} (п)}$
${ displaystyle left {(1-x) ^ {- alpha} (1 + x) ^ {- beta} { frac {d} {dx}} left [(1-x) ^ { альфа +1} (1 + x) ^ { beta +1} { frac {d} {dx}} right] right } ^ {k} F (x) ,}$	${ Displaystyle (-1) ^ {к} п ^ {к} (п + альфа + бета +1) ^ {к} е ^ { альфа, бета} (п)}$

Рекомендации