Функция Йоста - Википедия - Jost function

В теория рассеяния, то Функция Йоста это Вронскиан регулярного раствора и (нерегулярного) решения Йоста дифференциальное уравнение ${ Displaystyle - psi '' + V psi = k ^ {2} psi}$ .Это было введено Рес Йост.

Фон

Ищем решения ${ displaystyle psi (к, г)}$ к радиальному Уравнение Шредингера в случае ${ displaystyle ell = 0}$ ,

{ displaystyle - psi '' + V psi = k ^ {2} psi.}

Регулярные и нестандартные решения

А обычное решение ${ Displaystyle varphi (к, г)}$ тот, который удовлетворяет граничным условиям,

{ displaystyle { begin {align} varphi (k, 0) & = 0 varphi _ {r} '(k, 0) & = 1. end {align}}}

Если ${ Displaystyle int _ {0} ^ { infty} г | V (г) | < infty}$ , решение имеет вид Интегральное уравнение Вольтерра,

{ displaystyle varphi (k, r) = k ^ {- 1} sin (kr) + k ^ {- 1} int _ {0} ^ {r} dr ' sin (k (r-r' )) V (r ') varphi (k, r').}

У нас есть два нестандартные решения (иногда называемые решениями Йоста) ${ displaystyle f _ { pm}}$ с асимптотическим поведением ${ displaystyle f _ { pm} = e ^ { pm ikr} + о (1)}$ в качестве ${ Displaystyle г к infty}$ . Они даны Интегральное уравнение Вольтерра,

{ displaystyle f _ { pm} (k, r) = e ^ { pm ikr} -k ^ {- 1} int _ {r} ^ { infty} dr ' sin (k (r-r' )) V (r ') f _ { pm} (k, r').}

Если ${ Displaystyle к neq 0}$ , тогда ${ displaystyle f _ {+}, f _ {-}}$ линейно независимы. Поскольку они являются решениями дифференциального уравнения второго порядка, каждое решение (в частности, ${ displaystyle varphi}$ ) можно записать как их линейную комбинацию.

Определение функции Йоста

В Функция Йоста является

${ Displaystyle омега (к): = W (е _ {+}, varphi) эквив varphi _ {r} '(k, r) f _ {+} (k, r) - varphi (k, r ) f _ {+, x} '(k, r)}$ ,

где W - Вронскиан. С ${ displaystyle f _ {+}, varphi}$ оба являются решениями одного и того же дифференциального уравнения, вронскиан не зависит от r. Итак, оценивая ${ displaystyle r = 0}$ и используя граничные условия на ${ displaystyle varphi}$ дает ${ Displaystyle омега (к) = е _ {+} (к, 0)}$ .