Принцип неопределенности Купфмюллера - Википедия - Küpfmüllers uncertainty principle

Принцип неопределенности Купфмюллера к Карл Кюпфмюллер утверждает, что отношение времени нарастания сигнала с ограниченной полосой пропускания к его ширине полосы постоянно.

{ displaystyle Delta f Delta t geq k}

с ${ displaystyle k}$ либо ${ displaystyle 1}$ или же ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$

Доказательство

Сигнал с ограниченной полосой пропускания ${ Displaystyle и (т)}$ с преобразование Фурье ${ displaystyle { hat {u}} (е)}$ в частотном пространстве дается умножением любого сигнала ${ displaystyle { underline { hat {u}}} (е)}$ с ${ displaystyle { hat {u}} (f) = {{ underline { hat {u}}} (f)} {{ Big |} _ { Delta f}}}$ с прямоугольная функция ширины ${ displaystyle Delta f}$

{ displaystyle { hat {g}} (f) = operatorname {rect} left ({ frac {f} { Delta f}} right) = chi _ {[- Delta f / 2, Delta f / 2]} (f): = { begin {cases} 1 & | f | leq Delta f / 2 0 & { text {else}} end {cases}}}

как (применяя теорема свертки )

{ Displaystyle { шляпа {г}} (е) cdot { шляпа {и}} (е) = (г * и) (т)}

Поскольку преобразование Фурье прямоугольной функции есть функция sinc и наоборот, следует

{ displaystyle g (t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int limits _ {- { frac { Delta f} {2}}} ^ { frac { Дельта f} {2}} 1 cdot e ^ {j2 pi ft} df = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} cdot Delta f cdot operatorname {si} left ({ frac {2 pi t cdot Delta f} {2}} right)}

Теперь первый корень ${ displaystyle g (t)}$ я сидела ${ displaystyle pm { frac {1} { Delta f}}}$ , что является временем нарастания ${ displaystyle Delta t}$ из пульс ${ displaystyle g (t)}$ , теперь следует

{ displaystyle Delta t = { frac {1} { Delta f}}}

Равенство дается до тех пор, пока ${ displaystyle Delta t}$ конечно.

Учитывая, что реальный сигнал имеет как положительные, так и отрицательные частоты одной и той же полосы частот, ${ displaystyle Delta f}$ становится ${ displaystyle 2 cdot Delta f}$ ,что приводит к ${ Displaystyle к = { гидроразрыва {1} {2}}}$ вместо ${ displaystyle k = 1}$

Принцип неопределенности Купфмюллера - Википедия - Küpfmüllers uncertainty principle

Доказательство

Рекомендации