Теорема Кадисона о транзитивности - Kadison transitivity theorem

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Ноябрь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, Теорема Кадисона о транзитивности это результат теории C * -алгебры что, по сути, утверждает эквивалентность понятий топологической неприводимости и алгебраическая неприводимость представлений С * -алгебр. Отсюда следует, что для неприводимых представлений C * -алгебр единственным ненулевым линейным инвариантным подпространством является все пространство.

Теорема, доказанная Ричард Кэдисон, было удивительно, как априори нет причин полагать, что все топологически неприводимые представления также алгебраически неприводимы.

Заявление

Семья ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ говорят, что действует топологически неприводимо когда ${ displaystyle {0 }}$ и ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ являются единственными замкнутыми стабильными подпространствами относительно ${ displaystyle { mathcal {F}}}$. Семья ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ говорят, что действует алгебраически неприводимо если ${ displaystyle {0 }}$ и ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ единственные линейные многообразия в ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ стабильно под ${ displaystyle { mathcal {F}}}$.

Теорема. ^[1] Если C * -алгебра ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ действует топологически неприводимо на гильбертовом пространстве ${ displaystyle { mathcal {H}}, {y_ {1}, cdots, y_ {n} }}$ это набор векторов и ${ Displaystyle {x_ {1}, cdots, x_ {n} }}$ - линейно независимый набор векторов в ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, существует ${ displaystyle A}$ в ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ такой, что ${ displaystyle Ax_ {j} = y_ {j}}$. Если ${ displaystyle Bx_ {j} = y_ {j}}$ для некоторого самосопряженного оператора ${ displaystyle B}$, тогда ${ displaystyle A}$ могут быть выбраны самосопряженными.

Следствие. Если C * -алгебра ${ displaystyle { mathfrak {A}}}$ действует топологически неприводимо на гильбертовом пространстве ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, то он действует алгебраически неприводимо.

Рекомендации

• Кадисон, Ричард (1957), "Неприводимые операторные алгебры", Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ., 43: 273–276, Дои:10.1073 / pnas.43.3.273, ЧВК  528430, PMID  16590013.
• Кадисон, Р.В.; Рингроуз, Дж. Р., Основы теории операторных алгебр, Vol. I: Элементарная теория, ISBN  978-0821808191