Теория Кермака – МакКендрика - Kermack–McKendrick theory

Теория Кермака – МакКендрика это гипотеза который позволяет прогнозировать количество и распространение случаев инфекционного заболевания по мере его передачи через население с течением времени. Основываясь на исследованиях Рональд Росс и Хильда Хадсон, А. Г. Маккендрик и У. О. Кермак опубликовали свою теорию в серии из трех статей 1927, 1932 и 1933 годов. Хотя теория Кермака – Маккендрика действительно была источником Модели SIR и их родственники Кермак и Маккендрик думали о более тонкой и эмпирически полезной проблеме, чем простая компартментные модели обсуждается здесь. Текст несколько труднее читать по сравнению с современными публикациями, но важная особенность заключается в том, что это была модель, в которой возраст заражения влиял на скорость передачи и удаления.

Ввиду их первостепенной важности для области теоретической эпидемиологии эти статьи были переизданы в Вестник математической биологии в 1991 г.^[1][2][3]

Модель эпидемии (1927 г.)

В своей первоначальной форме теория Кермака – МакКендрика представляет собой компартментальную модель дифференциального уравнения, которая структурирует инфицированную популяцию с точки зрения возраста заражения, используя простые компартменты для людей, которые восприимчивы (S) и вылечены / удалены (R). начальные условия будут меняться со временем в соответствии с

${ displaystyle { frac {dS} {dt}} = - lambda S,}$

${ displaystyle { frac { partial i} { partial t}} + { frac { partial i} { partial a}} = delta (a) lambda S- gamma (a) i,}$

${ displaystyle { frac {dR} {dt}} = int _ {0} ^ { infty} gamma (a) i (a, t) , da,}$

куда ${ displaystyle delta (а)}$ это Дельта-функция Дирака и давление инфекции

${ displaystyle lambda = int _ {0} ^ { infty} beta (a) i (a, t) , da.}$

Только в частном случае, когда скорость съема ${ Displaystyle gamma (а)}$ и скорость передачи ${ Displaystyle бета (а)}$ постоянны для всех возрастов, выполняется ли замена ${ Displaystyle I (т) = int _ {0} ^ { infty} я (а, т) , да}$ превратить их теорию в простую Модель SIR. Эта базовая модель учитывает только случаи заражения и удаления, которых достаточно для описания простой эпидемии, включая пороговое условие, необходимое для начала эпидемии, но не может объяснить передачу эндемических заболеваний или повторяющиеся эпидемии.

Эндемическая болезнь (1932, 1933)

В своих последующих статьях Кермак и МакКендрик расширили свою теорию, допустив рождение, миграцию и смерть, а также несовершенный иммунитет. В современных обозначениях их модель можно представить в виде

${ displaystyle { frac {dS} {dt}} = b_ {0} + b_ {S} S + b_ {I} I + b_ {R} R- lambda S-m_ {S} S,}$

${ displaystyle { frac { partial i} { partial t}} + { frac { partial i} { partial a}} = delta (a) lambda (S + sigma R) - gamma ( а) i- mu (a) i-m_ {i} (a) i,}$

${ Displaystyle I (т) = int _ {0} ^ { infty} я (а, т) , да}$

${ displaystyle { frac {dR} {dt}} = int _ {0} ^ { infty} gamma (a) i (a, t) , da- sigma lambda R-m_ {R} Р,}$

куда ${ displaystyle b_ {0}}$ уровень иммиграции уязвимых, б_j уровень рождаемости на душу населения для государства j, м_j это уровень смертности на душу населения в штате j, ${ displaystyle sigma}$ относительный риск заражения выздоровевших людей с частичным иммунитетом и инфекционное давление

${ displaystyle lambda = int _ {0} ^ { infty} beta (a) i (a, t) , da.}$

Кермак и МакКендрик смогли показать, что он допускает стационарное решение там, где болезнь носит эндемический характер, при условии, что количество восприимчивых людей достаточно велико. Эту модель сложно анализировать в ее полной общности, и остается ряд открытых вопросов относительно ее динамики.

Рекомендации