Теорема Колмогорова о двух рядах - Википедия - Kolmogorovs two-series theorem

В теория вероятности, Теорема Колмогорова о двух сериях результат о сходимости случайных рядов. Это следует из Неравенство Колмогорова и используется в одном из доказательств сильный закон больших чисел.

Формулировка теоремы

Позволять ${ Displaystyle влево (X_ {п} вправо) _ {п = 1} ^ { infty}}$ быть независимые случайные величины с ожидаемые значения ${ Displaystyle mathbf {E} left [X_ {n} right] = mu _ {n}}$ и отклонения ${ displaystyle mathbf {Var} left (X_ {n} right) = sigma _ {n} ^ {2}}$ , так что ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} му _ {п}}$ сходится в ℝ и ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} sigma _ {п} ^ {2}}$ сходится в. потом ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} X_ {п}}$ сходится в ℝ почти наверняка.

Доказательство

Предполагать WLOG ${ displaystyle mu _ {n} = 0}$ . Набор ${ Displaystyle S_ {N} = сумма _ {n = 1} ^ {N} X_ {n}}$ , и мы увидим, что ${ Displaystyle limsup _ {N} S_ {N} - liminf _ {N} S_ {N} = 0}$ с вероятностью 1.

Для каждого ${ displaystyle m in mathbb {N}}$ ,

{ displaystyle limsup _ {N to infty} S_ {N} - liminf _ {N to infty} S_ {N} = limsup _ {N to infty} left (S_ {N} -S_ {m} right) - liminf _ {N to infty} left (S_ {N} -S_ {m} right) leq 2 max _ {k in mathbb {N}} left | sum _ {i = 1} ^ {k} X_ {m + i} right |}

Таким образом, для каждого ${ displaystyle m in mathbb {N}}$ и ${ displaystyle epsilon> 0}$ ,

{ Displaystyle { begin {выровнено} mathbb {P} left ( limsup _ {N to infty} left (S_ {N} -S_ {m} right) - liminf _ {N to infty} left (S_ {N} -S_ {m} right) geq epsilon right) & leq mathbb {P} left (2 max _ {k in mathbb {N}} left | sum _ {i = 1} ^ {k} X_ {m + i} right | geq epsilon right) & = mathbb {P} left ( max _ {k в mathbb {N}} left | sum _ {i = 1} ^ {k} X_ {m + i} right | geq { frac { epsilon} {2}} right) & leq limsup _ {N to infty} 4 epsilon ^ {- 2} sum _ {i = m + 1} ^ {m + N} sigma _ {i} ^ {2} & = 4 epsilon ^ {- 2} lim _ {N to infty} sum _ {i = m + 1} ^ {m + N} sigma _ {i} ^ {2} end {выровнено} }}

А второе неравенство связано с Неравенство Колмогорова.

По предположению, что ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} sigma _ {п} ^ {2}}$ сходится, то последний член стремится к 0, когда ${ displaystyle m to infty}$ , для любого произвольного ${ displaystyle epsilon> 0}$ .

Теорема Колмогорова о двух рядах - Википедия - Kolmogorovs two-series theorem

Формулировка теоремы

Доказательство

Рекомендации