Колмогоровский автоморфизм - Kolmogorov automorphism

В математика, а Колмогоровский автоморфизм, K-автоморфизм, K-сдвиг или же K-система обратимый, сохраняющий меру автоморфизм определено на стандартное вероятностное пространство что подчиняется Закон нуля или единицы Колмогорова.^[1] Все Автоморфизмы Бернулли находятся K-автоморфизмы (говорят, что у них K-свойство), но не наоборот. Много эргодический динамические системы было показано, что K-свойство, хотя более недавние исследования показали, что многие из них на самом деле являются автоморфизмами Бернулли.

Хотя определение K-свойство кажется достаточно общим, оно резко отличается от автоморфизма Бернулли. В частности, Теорема об изоморфизме Орнштейна не относится к K-системы, и поэтому энтропия недостаточно для классификации таких систем - существует несчетное количество неизоморфных K-системы с одинаковой энтропией. По сути, собрание K-системы большие, беспорядочные и некатегоризированные; тогда как B-автоморфизмы "полностью" описываются Теория Орнштейна.

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle (X, { mathcal {B}}, mu)}$ быть стандартное вероятностное пространство, и разреши ${ displaystyle T}$ быть обратимым, преобразование с сохранением меры. потом ${ displaystyle T}$ называется K-автоморфизм, K-трансформировать или K-сдвиг, если есть под-сигма-алгебра ${ Displaystyle { mathcal {K}} subset { mathcal {B}}}$ такие, что выполняются следующие три свойства:

${ Displaystyle { mbox {(1)}} { mathcal {K}} subset T { mathcal {K}}}$

${ Displaystyle { mbox {(2)}} bigvee _ {п = 0} ^ { infty} T ^ {n} { mathcal {K}} = { mathcal {B}}}$

${ Displaystyle { mbox {(3)}} bigcap _ {n = 0} ^ { infty} T ^ {- n} { mathcal {K}} = {X, varnothing }}$

Здесь символ ${ displaystyle vee}$ это соединение сигма-алгебр, пока ${ displaystyle cap}$ является установить пересечение. Равенство следует понимать как выполнение почти всюду, т. е. различающиеся не более чем на наборе измерять ноль.

Характеристики

Предполагая, что сигма-алгебра нетривиальна, т. Е. Если ${ Displaystyle { mathcal {B}} neq {X, varnothing }}$, тогда ${ displaystyle { mathcal {K}} neq T { mathcal {K}}.}$ Следует, что K-автоморфизмы сильное перемешивание.

Все Автоморфизмы Бернулли находятся K-автоморфизмы, но не наоборот.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Кристофер Хоффман "K контрпримерная машина ", Пер. Амер. Математика. Soc. 351 (1999), стр. 4263–4280.