Полиномы Кравчука или Полиномы Кравчука (также написанные с использованием нескольких других транслитераций украинской фамилии «Кравчу́к») являются дискретный ортогональные многочлены связанный с биномиальное распределение , представлен Михаил Кравчук (1929 Первые несколько полиномов (для q =2):
K 0 ( Икс ; п ) = 1 {displaystyle {mathcal {K}} _ {0} (x; n) = 1} K 1 ( Икс ; п ) = − 2 Икс + п {displaystyle {mathcal {K}} _ {1} (x; n) = - 2x + n} K 2 ( Икс ; п ) = 2 Икс 2 − 2 п Икс + ( п 2 ) {displaystyle {mathcal {K}} _ {2} (x; n) = 2x ^ {2} -2nx + {n выбрать 2}} K 3 ( Икс ; п ) = − 4 3 Икс 3 + 2 п Икс 2 − ( п 2 − п + 2 3 ) Икс + ( п 3 ) . {displaystyle {mathcal {K}} _ {3} (x; n) = - {frac {4} {3}} x ^ {3} + 2nx ^ {2} - (n ^ {2} -n + {frac {2} {3}}) x + {n выберите 3}.} Полиномы Кравчука являются частным случаем Полиномы Мейкснера первого вида.
Определение Для любого основная сила q и положительное целое число п , определим полином Кравчука
K k ( Икс ; п , q ) = K k ( Икс ) = ∑ j = 0 k ( − 1 ) j ( q − 1 ) k − j ( Икс j ) ( п − Икс k − j ) , k = 0 , 1 , … , п . {displaystyle {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) = {mathcal {K}} _ {k} (x) = sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j} (q-1) ^ {kj} {inom {x} {j}} {inom {nx} {kj}}, quad k = 0,1, ldots, n.} Свойства Многочлен Кравчука имеет следующие альтернативные выражения:
K k ( Икс ; п , q ) = ∑ j = 0 k ( − q ) j ( q − 1 ) k − j ( п − j k − j ) ( Икс j ) . {displaystyle {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) = sum _ {j = 0} ^ {k} (- q) ^ {j} (q-1) ^ {kj} {inom {nj} {kj}} {inom {x} {j}}.} K k ( Икс ; п , q ) = ∑ j = 0 k ( − 1 ) j q k − j ( п − k + j j ) ( п − Икс k − j ) . {displaystyle {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) = сумма _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j} q ^ {kj} {inom {n-k + j} {j}} {inom {nx} {kj}}.} Соотношения симметрии Для целых чисел я , k ≥ 0 {displaystyle i, kgeq 0}
( q − 1 ) я ( п я ) K k ( я ; п , q ) = ( q − 1 ) k ( п k ) K я ( k ; п , q ) . {displaystyle {egin {выровнено} (q-1) ^ {i} {n выбрать i} {mathcal {K}} _ {k} (i; n, q) = (q-1) ^ {k} {n выберите k} {mathcal {K}} _ {i} (k; n, q) .end {align}}} Отношения ортогональности Для неотрицательных целых чисел р , s ,
∑ я = 0 п ( п я ) ( q − 1 ) я K р ( я ; п , q ) K s ( я ; п , q ) = q п ( q − 1 ) р ( п р ) δ р , s . {displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {inom {n} {i}} (q-1) ^ {i} {mathcal {K}} _ {r} (i; n, q) {mathcal {K}} _ {s} (i; n, q) = q ^ {n} (q-1) ^ {r} {inom {n} {r}} delta _ {r, s}.} Производящая функция В генерирующий ряд полиномов Кравчука приведен ниже. Вот z {displaystyle z}
( 1 + ( q − 1 ) z ) п − Икс ( 1 − z ) Икс = ∑ k = 0 ∞ K k ( Икс ; п , q ) z k . {displaystyle {egin {align} (1+ (q-1) z) ^ {nx} (1-z) ^ {x} & = sum _ {k = 0} ^ {infty} {mathcal {K}} _ {k} (x; n, q) {z ^ {k}}. конец {выровнен}}} Смотрите также использованная литература Кравчук, М. (1929), "Sur une généralisation des polynomes d'Hermite". , Comptes Rendus Mathématique (На французском), 189 : 620–622, JFM 55.0799.01 Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Сварттоу, Рене Ф. (2010), «Класс Хан: определения» , в Олвер, Фрэнк В. Дж. ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям ISBN 978-0-521-19225-5 Г-Н 2723248 Никифоров, А. Ф .; Суслов, С.К .; Уваров, В. Б. (1991), Классические ортогональные многочлены дискретной переменной , Серия Springer по вычислительной физике, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-51123-7 Г-Н 1149380 Левенштейн, Владимир И. (1995), "Многочлены Кравчука и универсальные оценки для кодов и схем в пространствах Хэмминга", IEEE Transactions по теории информации , 41 (5): 1303–1321, Дои :10.1109/18.412678 , Г-Н 1366326 MacWilliams, F.J .; Слоан, Н. Дж. А. (1977), Теория кодов, исправляющих ошибки ISBN 0-444-85193-3 внешние ссылки
