Преобразование Куммерса ряда - Википедия - Kummers transformation of series

В математике, особенно в области числовой анализ, Куммер преобразование ряда это метод, используемый для ускорить конвергенцию бесконечной серии. Метод был впервые предложен Эрнст Куммер в 1837 г.

Позволять

${ Displaystyle А = сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$

- бесконечная сумма, значение которой мы хотим вычислить, и пусть

${ displaystyle B = sum _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n}}$

быть бесконечной суммой со сравнимыми членами, значение которых известно. Если

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = gamma neq 0}$

тогда A легче вычислить как

${ displaystyle A = gamma B + sum _ {n = 1} ^ { infty} left (1- gamma { frac {b_ {n}} {a_ {n}}} right) a_ {n } = gamma B + sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} - gamma b_ {n}.}$

Пример

Применяем метод ускорения Формула Лейбница для π:

${ displaystyle 1 , - , { frac {1} {3}} , + , { frac {1} {5}} , - , { frac {1} {7}} , + , { frac {1} {9}} , - , cdots , = , { frac { pi} {4}}.}$

Термины первой группы попарно как

${ displaystyle 1- left ({ frac {1} {3}} - { frac {1} {5}} right) - left ({ frac {1} {7}} - { frac {1} {9}} right) + cdots}$

${ displaystyle , = 1-2 left ({ frac {1} {15}} + { frac {1} {63}} + cdots right) = 1-2A}$

куда

${ Displaystyle А = сумма _ {п = 1} ^ { infty} { гидроразрыва {1} {16n ^ {2} -1}}}$

Позволять

${ displaystyle B = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {4n ^ {2} -1}} = { frac {1} {3}} + { frac { 1} {15}} + cdots}$

${ displaystyle , = { frac {1} {2}} - { frac {1} {6}} + { frac {1} {6}} - { frac {1} {10}} + cdots}$

который является телескопическая серия с суммой¹⁄₂.В этом случае

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} { frac { frac {1} {16n ^ {2} -1}} { frac {1} {4n ^ {2} -1} }} = { frac {4n ^ {2} -1} {16n ^ {2} -1}} = { frac {1} {4}}}$

и преобразование Куммера дает

${ displaystyle A = { frac {1} {4}} cdot { frac {1} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac { 1} {4}} { frac { frac {1} {4n ^ {2} -1}} { frac {1} {16n ^ {2} -1}}} right) { frac {1 } {16n ^ {2} -1}}.}$

Это упрощает

${ displaystyle A = { frac {1} {8}} - { frac {3} {4}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {(16n ^ { 2} -1) (4n ^ {2} -1)}}}$

который сходится намного быстрее, чем исходный ряд.

Смотрите также

• Преобразование Эйлера

Рекомендации

• Сенатов, В.В. (2001) [1994], «Трансформация Куммера», Энциклопедия математики, EMS Press
• Кнопп, Конрад (2013). Теория и применение бесконечных рядов. Курьерская корпорация. п. 247.
• Кейт Конрад. «Ускорение сходимости серий» (PDF).
• Куммер, Э. (1837). "Eine neue Methode, die numerischen Summen langsam convergirender Reihen zu berech-nen". J. Reine Angew. Математика. (16): 206–214.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Трансформация серии Куммера». MathWorld.

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.