Курепа дерево - Kurepa tree

В теория множеств, а Курепа дерево это дерево (Т, <) высоты ω1, каждый из уровней которых не более чем счетен и имеет не менее ℵ2 много филиалов. Эта концепция была введена Курепа  (1935 ). Существование дерева Курепы (известного как Гипотеза Курепы, хотя Курепа изначально предположил, что это было ложно) согласуется с аксиомами ZFC: Соловей показал в неопубликованной работе, что деревья Курепы есть в Гёдель с конструируемая вселенная (Jech 1971 г. ). Точнее, существование деревьев Курепы следует из принцип алмаз плюс, которое имеет место в конструктивной вселенной. С другой стороны, Серебро  (1971 ) показал, что если сильно недоступный кардинал является Леви рухнул к ω2 то в получившейся модели нет деревьев Курепы. Существование недоступного кардинала фактически равнозначно несостоятельности гипотезы Курепы, потому что если гипотеза Курепы ложна, то кардинал ω2 недоступно в конструктивной вселенной.

Дерево Курепы с менее чем двумяℵ1 филиалов известен как Дерево Джеча-Кунена.

В более общем смысле, если κ - бесконечный кардинал, то κ-дерево Курепы - это дерево высоты κ с более чем κ ветвями, но не более чем | α | элементы каждого бесконечного уровня α <κ, а гипотеза Курепы для κ - это утверждение, что существует κ-дерево Курепы. Иногда дерево также считается двоичным. Существование бинарного κ-дерева Курепы эквивалентно существованию Семья Курепы: набор из более чем κ подмножеств κ таких, что их пересечения с любым бесконечным ординалом α <κ образуют набор мощности не выше α. Гипотеза Курепы неверна, если κ - невыразимый кардинал И, наоборот, Йенсен показал, что в конструктивной вселенной для любого несчетного регулярного кардинала κ существует κ-дерево Курепы, если κ не является невыразимым.

Специализация дерева Курепы

Дерево Курепы можно «убить» принуждение существование функции, значение которой на любом некорневом узле является порядковым номером меньше ранга узла, так что всякий раз, когда три узла, один из которых является нижней границей для двух других, отображаются на один и тот же порядковый номер, тогда три узла сопоставимы. Это можно сделать без рушится ℵ1, и приводит к дереву с ровно ℵ1 ветви.

Смотрите также

Рекомендации

  • Jech, Thomas J. (1971), «Деревья», Журнал символической логики, 36: 1–14, Дои:10.2307/2271510, JSTOR  2271510, МИСТЕР  0284331, Zbl  0245.02054
  • Jech, Томас (2002). Теория множеств. Springer-Verlag. ISBN  3-540-44085-2.
  • Курепа, Г. (1935), "Ensembles ordonnés et ramifiés", Publ. математика. Univ. Белград, 4: 1–138, JFM  61.0980.01, Zbl  0014.39401
  • Силвер, Джек (1971), «Независимость гипотезы Курепы и двух кардинальных гипотез в теории моделей», Аксиоматическая теория множеств, Proc. Симпози. Чистая математика., XIII, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 383–390, МИСТЕР  0277379, Zbl  0255.02068