Условие Ладыженской – Бабушки – Брецци - Википедия - Ladyzhenskaya–Babuška–Brezzi condition

В числовые уравнения в частных производных, то Условие Ладыженской – Бабушки – Брези (ЛББ) является достаточным условием для того, чтобы проблема седловой точки имела единственное решение, непрерывно зависящее от входных данных. Проблемы перевала возникают при дискретизации Стокса поток и в смешанная дискретизация методом конечных элементов из Уравнение Пуассона. Для положительно определенных задач, таких как несмешанная формулировка уравнения Пуассона, большинство схем дискретизации сходятся к истинному решению в пределе по мере уточнения сетки. Однако для задач седловой точки многие дискретизации нестабильны, вызывая артефакты, такие как паразитные колебания. Условие LBB дает критерии того, когда дискретизация задачи перевала является устойчивой.

Это условие по-разному называют условием LBB, условием Бабушки – Брецци или условием «inf-sup».

Проблемы с седловой точкой

Абстрактная форма проблемы перевала может быть выражена в терминах гильбертовых пространств и билинейных форм. Позволять ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle Q}$ - гильбертовы пространства, и пусть ${ displaystyle a: V times V to mathbb {R}}$, ${ displaystyle b: V times Q to mathbb {R}}$ быть билинейными формами. ${ displaystyle f in V ^ {*}}$, ${ displaystyle g in Q ^ {*}}$ куда ${ Displaystyle V ^ {*}}$, ${ displaystyle Q ^ {*}}$ - двойственные пространства. Проблема перевала для пары ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$ найти пару полей ${ displaystyle u}$ в ${ displaystyle V}$, ${ displaystyle p}$ в ${ displaystyle Q}$ такое, что для всех ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle q}$ в ${ displaystyle Q}$,

${ Displaystyle { begin {align} a (u, v) + b (v, p) & = langle f, v rangle b (u, q) & = langle g, q rangle. конец {выровнен}}}$

Например, для уравнений Стокса на ${ displaystyle d}$-мерный домен ${ displaystyle Omega}$поля - это скорость ${ displaystyle u}$ и давление ${ displaystyle p}$, которые живут соответственно в пространстве Соболева ${ Displaystyle Н ^ {1} ( Омега) ^ {d}}$ и пространство Лебега ${ Displaystyle L ^ {2} ( Omega)}$Билинейные формы этой задачи:

${ Displaystyle { begin {выровнено} a (u, v) & = int _ { Omega} mu nabla u: nabla v , dx b (u, q) & = int _ { Omega} ( nabla cdot u) q , dx, end {выровнено}}}$

куда ${ displaystyle mu}$ вязкость.

Другой пример - смешанное уравнение Лапласа (в этом контексте также иногда называемое уравнениями Дарси), где поля снова являются скоростью ${ displaystyle u}$ и давление ${ displaystyle p}$, которые живут в пространствах ${ Displaystyle H _ { текст {div}} ( Omega) ^ {d}}$ и ${ Displaystyle L ^ {2} ( Omega)}$соответственно, где билинейные формы задачи имеют вид

${ Displaystyle { begin {align} a (u, v) & = int _ { Omega} u cdot K ^ {- 1} v , dx b (u, q) & = int _ { Omega} ( nabla cdot u) q , dx, end {align}}}$

куда ${ displaystyle K ^ {- 1}}$ является обратным тензору проницаемости.

Формулировка теоремы

Предположим, что ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ обе являются непрерывными билинейными формами, и, кроме того, ${ displaystyle a}$ является принудительным по отношению к ядру ${ displaystyle b}$:

${ Displaystyle а (v, v) geq альфа | v | _ {V} ^ {2}}$

для всех ${ displaystyle v}$ такой, что ${ displaystyle b (v, q) = 0}$ для всех ${ displaystyle q in Q}$.Если ${ displaystyle b}$ удовлетворяет inf – sup или же Ладыженская – Бабушка – Брецци условие

${ Displaystyle sup _ {v in V, v neq 0} { frac {b (v, q)} { | v | _ {V}}} geq beta | q | _ {Q}}$

для всех ${ displaystyle q}$ и для некоторых ${ displaystyle beta> 0}$, то существует единственное решение ${ displaystyle u, p}$ задачи перевала. кроме того, существует постоянная ${ displaystyle C}$ такой, что

${ displaystyle | u | _ {V} + | p | _ {Q} leq C ( | f | _ {V ^ {*}} + | g | _ {Q ^ { *}}).}$

Альтернативное название условия, «inf-sup», происходит от того факта, что при делении на ${ displaystyle | q | _ {Q}}$, приходим к утверждению

${ Displaystyle sup _ {v in V, v neq 0} { frac {b (v, q)} { | v | _ {V} | q | _ {Q}}} geq beta.}$

Поскольку это должно выполняться для всех ${ displaystyle q in Q}$ и поскольку правая часть не зависит от ${ displaystyle q}$, мы можем взять нижнюю грань по всем ${ displaystyle q}$ слева и может переписать условие эквивалентным образом как

${ displaystyle inf _ {q in Q, q neq 0} sup _ {v in V, v neq 0} { frac {b (v, q)} { | v | _ { V} | q | _ {Q}}} geq beta.}$

Связь с бесконечномерными задачами оптимизации

Проблемы перевала, подобные показанным выше, часто связаны с бесконечномерными задачами оптимизации с ограничениями. Например, уравнения Стокса возникают в результате минимизации диссипации

${ displaystyle I (u) = int _ { Omega} left ({ frac {1} {2}} mu | nabla u | ^ {2} -f cdot u right)}$

с учетом ограничения несжимаемости

${ displaystyle nabla cdot u = 0.}$

Используя обычный подход к задачам оптимизации с ограничениями, можно сформировать лагранжиан

${ displaystyle L (u, lambda) = I (u) - left ( lambda, nabla cdot u right) = int _ { Omega} left ({ frac {1} {2} } mu | nabla u | ^ {2} -f cdot u- lambda ( nabla cdot u) right).}$

Условия оптимальности (Условия Каруша-Куна-Такера ) - то есть необходимые условия первого порядка - которые соответствуют этой задаче, тогда путем изменения ${ Displaystyle L (и, lambda)}$ в отношении к ${ displaystyle u}$

${ Displaystyle int _ { Omega} left ({ frac {1} {2}} mu nabla u: nabla vf cdot v- lambda ( nabla cdot v) right) = 0 qquad forall v in H ^ {1} ( Omega) ^ {d},}$

и путем изменения ${ Displaystyle L (и, lambda)}$ в отношении к ${ displaystyle lambda}$:

${ displaystyle - int _ { Omega} left (q ( nabla cdot u) right) = 0 qquad forall q in L_ {2} ( Omega) ^ {d},}$

Это в точности вариационная форма показанных выше уравнений Стокса с

${ displaystyle a (u, v): = int _ { Omega} left ({ frac {1} {2}} mu nabla u: nabla v right),}$

${ displaystyle b ( lambda, v): = int _ { Omega} lambda ( nabla cdot v).}$

В этом контексте условия inf-sup можно понимать как бесконечномерный эквивалент ограничение квалификации (в частности, LICQ) условия, необходимые для того, чтобы гарантировать, что минимизатор задачи оптимизации с ограничениями также удовлетворяет необходимым условиям первого порядка, представленным проблемой седловой точки, показанной ранее. В этом контексте условия inf-sup можно интерпретировать как утверждение, что относительно размера пространства ${ displaystyle V}$ переменных состояния ${ displaystyle u}$, количество ограничений (представленное размером пространства ${ displaystyle Q}$ множителей Лагранжа ${ displaystyle lambda}$) должен быть достаточно малым. В качестве альтернативы, это можно рассматривать как требование, чтобы размер пространства ${ displaystyle V}$ переменных состояния ${ displaystyle u}$ должен быть достаточно большим по сравнению с размером помещения ${ displaystyle Q}$ множителей Лагранжа ${ displaystyle lambda}$.

Рекомендации

• Боффи, Даниэле; Брецци, Франко; Фортин, Мишель (2013). Смешанные методы конечных элементов и приложения. 44. Springer.

внешняя ссылка

• Смешанная вариационная формулировка для трехмерной линейной и нелинейной магнитостатики
• Конспекты лекций по продвинутым методам конечных элементов
• Inf-sup условие и блокировка: понимание и обход