Закон полной ковариации - Law of total covariance

В теория вероятности, то закон полной ковариации,[1] формула ковариационного разложения, или же формула условной ковариации заявляет, что если Икс, Y, и Z находятся случайные переменные на том же вероятностное пространство, а ковариация из Икс и Y конечно, то

Номенклатура в названии статьи соответствует фразе закон полной дисперсии. Некоторые авторы теории вероятностей называют это "условная ковариация формула "[2] или используйте другие имена.

(The условные ожидаемые значения E ( Икс | Z ) и E ( Y | Z ) - случайные величины, значения которых зависят от значения Z. Обратите внимание, что условное ожидаемое значение Икс Учитывая мероприятие Z = z является функцией z. Если мы напишем E ( Икс | Z = z) = грамм(z), то случайная величина E ( Икс | Z ) является грамм(Z). Подобные комментарии относятся и к условной ковариации.)

Доказательство

Закон полной ковариации можно доказать с помощью закон полного ожидания: Первый,

из простого стандартного тождества ковариаций. Затем мы применяем закон полного ожидания, обусловливая случайную величину Z:

Теперь перепишем член внутри первого математического ожидания, используя определение ковариации:

Поскольку ожидание суммы - это сумма ожиданий, мы можем перегруппировать условия:

Наконец, мы распознаем последние два члена как ковариацию условных ожиданий E [Икс | Z] и E [Y | Z]:

Смотрите также

Примечания и ссылки

  1. ^ Мэтью Р. Рудари, О прогнозирующих линейных гауссовских моделях, ProQuest, 2009, стр.121.
  2. ^ Шелдон М. Росс, Первый курс вероятности, шестое издание, Prentice Hall, 2002, стр. 392.

внешняя ссылка